[分析] 直角坐標 & 球坐標

[znmkhxrw (QQ)]

舉2-D好嚕

x=rcosz
y=rsinz

照理講座標變換要1-1 onto

不考慮原點時

               (x,y)€R^2

1-1 onto       (r,z)€R+ X [0,2pi)

可是考慮原點時r=0 , z卻是可以任意取 , 因為結果都是0

所以我們有定義原點是何z值嗎?? (假設定義是 Z)


會有這個問題是因為 , 考慮

f(x,y) = x + y

Df(x,y) = ( 1,1 )

用球坐標的話 Df(x(r,z) , y(r,z)) = Df(x,y)*D(x(r,z) , y(r,z))

                                 = (cosz+sinz , -rsinz+rcosz)
這個結果很奇怪

因為用直角坐標來看的話，在(x,y)=(0,0)那點的微分矩陣是(1,1)

可是用球坐標來看的話，同樣是原點，根據剛剛講定義在Z

則在(r,z)=(0,Z) = (cosZ+sinZ , 0 )

跟(1,1)差異很大 而且Z還是自行定義的


我的猜測是，因為微分根據定義要定義一個點的open set

所以如果要換成球坐標來看的話，只能考慮在(r,z)€R+ X (0,2pi)的微分??


之前都認為球坐標很nice，直到想到這個問題才覺得奇怪

做積分題目時也蠻常用r從0開始積，且Jacobian也不會有問題

到底是哪出問題勒

請板上大大指教 謝謝~~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.243.144.47
推 Vulpix      :其實這問題一直都在，你的理解也是對的。
→ Vulpix      :然後r=0的問題我們怎麼處理？答案：瑕積分。
→ Vulpix      :然後通常r=0都不是函數的瑕點，所以不會出事。
推 herstein    :通常一個點不會影響積分結果，測度為零
→ znmkhxrw    :如果一個函數在D^1 (x^2+y^2<=1)是連續的
→ znmkhxrw    :我們知道SS_D^1 f(x,y)dxdy存在
∫∫   f(x,y) dxdy
   D^1

                1 b
=  lim   lim   ∫∫f(rcosθ,rsinθ)*r drdθ
  a→0+,b→2p-  a 0

好麻煩喔@@

※ 編輯: znmkhxrw        來自: 140.114.81.84        (12/12 11:43)
推 herstein    :如果連續就不用那麼麻煩了...
→ herstein    :你的z不管怎麼定(0,z)都代表同一個點