[分析] compact set

[znmkhxrw (QQ)]

我不是要問compact為什麼翻作緊緻拉(誤)

compact的定義是：對於所有open covers必存在finite subcovers

我想證明：這些finite subcovers(open) , U_1.....U_n這n個

對於每個U_i，必存在一個U_j，其中i=/=j

使得U_i 交集 U_j不等於空集合



如果母空間是R^n，且這些subcovers都是open balls，用幾何圖形去想也許可以

可是因為compactness是與母空間無關的

if K is compact in M, then K is compact in any X, where K <= X <= M


而今天M也不一定是R^n，open subcovers也不一定是open balls，

而且像是[0,1] is compact in [0,1]

則[0,2/3) 聯集 (1/3,1] 也是一個finite open cover


總之~~想請教一下有無general的證明：

if K is compact in (M,d_M) (a metric space)

then any open covers of K , denoted by U={U_a│a€index set}

     there exists finite open subcovers U_1....U_n

     which have the property：對於每個U_i，必存在一個U_j，其中i=/=j

     使得U_i 交集 U_j不等於空集合 , 1<=i,j<=n

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.81.60
→ dogy007     :這不對，例子: K = [0,1]U[2,3],
→ dogy007     :(x-r, x+r), (3/2, 7/2), x in [0,1], 0 < r < 1/4
→ dogy007     :是一組 open covering, 但不會有你提的性質
→ dogy007     :因為 finite subcovering 必定有 (3/2, 7/2)
→ dogy007     :但其和其他 covering 裡的 open set 都不相交
→ dogy007     :你想做的和連通性(connected)有關，和 compact 無關
→ empty24     :考慮離散距離空間. 只有有限子集才會緊緻.
→ empty24     :而且很容易找到一個開覆蓋不滿足你想要的!
喔喔~~對

其實我是想要在一個compact and connected set K中

for all open covers of K , 都能找到一組有限的finite subcovers U_1~U_n

s.t. for all i€1~n ,存在一個j=/=i(j€1~n) & U_i 交集 U_j不等於空集合


舉例來說

複變中，U is open connected，f是定義在U上的解析函數

如果存在一點a€U，使得f^(n)(a) = 0 for all n

則f在全部的U都有f^(n)(z) = 0 , for all z€U


老師在教的時候就是用connected 的相對開閉集證的

可是因為在C中，open connected會imply path-connected

所以我連一條path 從a到z

因為這條path是compact and connected

如果存在一組finite subsovers

s.t. for all i€1~n ,存在一個j=/=i(j€1~n) & U_i 交集 U_j不等於空集合

則我就能把這個瘟疫沿著這些open covers串聯過去
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之前我在解析函數問的一個問題就是這個

如何不用相對開閉集去證明瘟疫可以延拓出去


總之 能否證明一個compact connected set K 有：

for all open covers of K , 都能找到一組有限的finite subcovers U_1~U_n

s.t. for all i€1~n ,存在一個j=/=i(j€1~n) & U_i 交集 U_j不等於空集合  

(簡而言之，每一組包含K的開集都存在一組包含K的有限開集，使得這n個有限開集中

 任取其中一個，必定跟其他n-1個的其中一個有交集到)
※ 編輯: znmkhxrw        來自: 140.114.81.60        (12/13 15:53)
→ dogy007     :如果有一 U_i, 和其他 U_j 沒交集
→ dogy007     :那 U_i 以及其他 U_j 的聯集是兩個不相交的開集
→ dogy007     :K 不是 connected
→ Sfly        :必須是connected
→ Sfly        :你要的證明基本上就是用connected的定義
→ znmkhxrw    :喔喔喔喔喔喔!!!!!  謝謝你們^^