Re: [分析] Royden 習題

[iamwjy (醉翁之意)]

幾個地方看不懂：

: [直接貼]
:                     【函數：|R^n → |R^n, 與可測集的簡單關係】
: (動機) 對於 Lebesgue Outer Measure 而言，我們發現 Lebesgue Outer Measure 是獨
:        立於座標系統。因此，旋轉將可測集合依然送至可測集合。

底下哪個地方有提到旋轉這件事情？

: 討論：這是一個直覺性的結論，因為 n 維度區間經由旋轉之後，依然是 n 維度區間。
: 　　　而且 Lebesgue Outer Measure 是藉由 n 維度區間來定義的。因此，我們並不意
: 　　　外有如此之結果。此外，旋轉是一種線性映射 (＝＞ Lipschitz ＝＞ 連續映射)。
: 　　　我們現在來研究這些映射會有什麼樣的結果。
: 首先，我們必須提到的是連續映射未必會將可測集合送至可測集合 (＊).
: （＊）命 Φ 為 Cantor-Lebesgue function, 且 F(x)：＝I(x)＋Φ(x)：[0,1]→[0,2].
:       已知 F(C) 為測度 1 之集合，故存在一不可測集 P 落於 F(C). 考慮
:                         F^(－1) (P) (≦ C) |→ P.
:       故可知連續映射未必會將可測集送至可測集。
: 但連續映射會將 F_σ set 送至 F_σ set. 因此，我們寫成下面引理。
: (引理) 命 f:|R^n →|R^n 之連續函數，則 f 將 F_σ set 送至 F_σ set.
: 討論：這是由於連續函數會將 Compact set 送至 Compact set.

一般的連續函數可以嗎？不是應該要 f: E →|R^n ; E bounded

這樣才能使用將 Compact set 送至 Compact set這件事嗎？

: 更進一步，對於滿足 Lipschitz 的函數，我們有以下定理：
: (定理 1) 命 f:|R^n →|R^n 滿足 Lipschitz 條件，則 f 將可測集送至可測集。
: 討論：顯然地，滿足 Lipschitz 條件之函數必為連續，且根據可測集合的特徵性，我們
: 　　　可將可測集 E 寫為 E＝F∪Z, 其中 F 為 F_σ set 且 |Z| = 0. 藉由 Lipschitz
: 　　　條件，我們知道 |f(Z)|＝0. 由此，配合引理與 (＊)，我們可發現下面的事實：
: 　　　連續函數 f_1 與 Lipschitz 函數 f_2 僅相差在於
:                 ┌──────────────────────┐
:                 │     是否 f_1 會將零測度集送至零測度集 ?    │
:                 └──────────────────────┘
: 例子：命 Z 為零測度集合，則 {x^2: x in Z} 也是零測度。
: (推論) 命 T:|R^n →|R^n 為線性映射，則 T 將可測集 E 送至可測集 T(E), 且 |T(E)|
:        ＝|det(T)|．|E|.

|E| 定義為？

: 討論：此推論乃定理 1 之立即結果。注意到當 E 為 n 維度區間時，稱 E 為 I, 則
:                            |T(I)|＝|det(T)|．|I|.
:       實為顯然。故有此等式 |T(E)|＝|det(T)|．|E|.
:       更為廣義的是，命 T:|R^n → |R^n 為線性映射，則
:                       |T(E)|_e＝|det(T)|．|E|_e.

|E|_e定義為？

:       如果 T 是 singular, 則 T 會將 |R^n 降低維度。
:       故 |T(E)|_e ＝ |T(E)| ＝ 0.
: 由定理 1 之討論，我們可以寫出更為廣義的定理。
: ┌─────────────────────────────────────┐
: │(定理 2) 命 f:|R^n →|R^n, 若函數 f 將 F_σ set 送至 F_σ set 且將測度為 0│
: │         之送至測度為 0 之集合，則 f 將可測集送至可測集。                 │
: └─────────────────────────────────────┘
: (定理 3) 若 f(x) 是 [a,b] 上之絕對連續函數，則 f 將可測集送至可測集。
: 討論：上述所言之 f 將可測集送至可測集是指，若 E 為 [a,b] 之可測子集，則 f(E)
: 　　　也是可測集。這結論會成立是來自定理 2.  也就是說，一個絕對連續的函數會將
: 　　　測度為 0 的集合送至測度為 0. 注意到
:                 ┌──────────────────────┐
:                 │  Lipschitz ＝＞ 絕對連續 (AC)  ＝＞ 連續   │
:                 └──────────────────────┘
: NOTE.
: 如果 f 不再是 |R^n 送至 |R^n, 例如: |R^2 送至 |R 的連續映射，即使是 Lipschitz,
: 也未必將可測送至可測。
: 命 f: |R^2  → |R 的 projection. 且 E ＝ □_______
:                                            ^^^^^^^ 這一段藏不可測。
: 顯然 E 依然在 |R^2 上是可測，但是當我們考慮了投影
: f(E) ＝ _________ 為不可測集合。
:           ^^^^^^^
: (習題) 命 V 為 |R^2 中一子集且 V 在 x 軸的投影為 [0,1].
:        收集
:                F = {f:[0,1] → |R | (x,f(x)) is in V for all x in [0,1]}
: 問：若 F 中沒有一個函數是可測的，是否 V 就是不可測的呢?
: 答：未必.(留給你)

再次麻煩，謝謝。


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◆ From: 140.116.191.200
推 jacky7987   :連續函數保持cpt
推 herstein    :旋轉是invertible linear map
→ herstein    :inverse跟原函數都是Lipschitz
→ herstein    :measurable set在rigid motion作用下還是可測
推 herstein    :而outer measure呢，定義是用interval定義
→ herstein    :你interval的體積在在rigid motion的作用下是不變的
→ iamwjy      :1F : 但是如果不是 E bdd 任何的 F_sigma set
→ iamwjy      :=U F_i  這樣的F_i 如果不是bdd 就沒有辦法是cpt
推 jacky7987   :SORRY 我還沒學實變=ww=,不過用inverse image就可以
→ jacky7987   :證明了吧?
推 herstein    :compact在連續函數作用下還是compact....
→ iamwjy      :我當然知道連續函數作用下保持cpt
→ iamwjy      :問題是如果 f: E送到R^n ,E如果不是bdd，就無法用
→ iamwjy      :這個事實去證明會把F_sigma送到F_sigma
→ iamwjy      :但是這篇文章並沒有這個限制，讓我很疑惑
→ iamwjy      :可參考18035 empty24的回文
→ keroro321   :F_σ=∪(Fi)=∪(∪(Fi∩Br(0) ) )
→ keroro321   :在這 Br(0)={x| d(x,0)≦r }.
→ iamwjy      :thx