→ iamwjy :thx 12/14 23:05
※ 引述《iamwjy (醉翁之意)》之銘言：
: 幾個地方看不懂：
: : [直接貼]
: : 【函數：|R^n → |R^n, 與可測集的簡單關係】
: : (動機) 對於 Lebesgue Outer Measure 而言，我們發現 Lebesgue Outer Measure 是獨
: : 立於座標系統。因此，旋轉將可測集合依然送至可測集合。
: 底下哪個地方有提到旋轉這件事情？
: : 討論：這是一個直覺性的結論，因為 n 維度區間經由旋轉之後，依然是 n 維度區間。
: : 而且 Lebesgue Outer Measure 是藉由 n 維度區間來定義的。因此，我們並不意
: : 外有如此之結果。此外，旋轉是一種線性映射 (＝＞ Lipschitz ＝＞ 連續映射)。
: : 我們現在來研究這些映射會有什麼樣的結果。
: : 首先，我們必須提到的是連續映射未必會將可測集合送至可測集合 (＊).
: : （＊）命 Φ 為 Cantor-Lebesgue function, 且 F(x)：＝I(x)＋Φ(x)：[0,1]→[0,2].
: : 已知 F(C) 為測度 1 之集合，故存在一不可測集 P 落於 F(C). 考慮
: : F^(－1) (P) (≦ C) |→ P.
: : 故可知連續映射未必會將可測集送至可測集。
: : 但連續映射會將 F_σ set 送至 F_σ set. 因此，我們寫成下面引理。
: : (引理) 命 f:|R^n →|R^n 之連續函數，則 f 將 F_σ set 送至 F_σ set.
: : 討論：這是由於連續函數會將 Compact set 送至 Compact set.
: 一般的連續函數可以嗎？不是應該要 f: E →|R^n ; E bounded
: 這樣才能使用將 Compact set 送至 Compact set這件事嗎？
: : 更進一步，對於滿足 Lipschitz 的函數，我們有以下定理：
: : (定理 1) 命 f:|R^n →|R^n 滿足 Lipschitz 條件，則 f 將可測集送至可測集。
: : 討論：顯然地，滿足 Lipschitz 條件之函數必為連續，且根據可測集合的特徵性，我們
: : 可將可測集 E 寫為 E＝F∪Z, 其中 F 為 F_σ set 且 |Z| = 0. 藉由 Lipschitz
: : 條件，我們知道 |f(Z)|＝0. 由此，配合引理與 (＊)，我們可發現下面的事實：
: : 連續函數 f_1 與 Lipschitz 函數 f_2 僅相差在於
: : ┌──────────────────────┐
: : │ 是否 f_1 會將零測度集送至零測度集 ? │
: : └──────────────────────┘
: : 例子：命 Z 為零測度集合，則 {x^2: x in Z} 也是零測度。
: : (推論) 命 T:|R^n →|R^n 為線性映射，則 T 將可測集 E 送至可測集 T(E), 且 |T(E)|
: : ＝|det(T)|．|E|.
: |E| 定義為？
Lebesgue measure
: : 討論：此推論乃定理 1 之立即結果。注意到當 E 為 n 維度區間時，稱 E 為 I, 則
: : |T(I)|＝|det(T)|．|I|.
: : 實為顯然。故有此等式 |T(E)|＝|det(T)|．|E|.
: : 更為廣義的是，命 T:|R^n → |R^n 為線性映射，則
: : |T(E)|_e＝|det(T)|．|E|_e.
: |E|_e定義為？
Lebesgue outer measure
(the notation is from Zygmund)
: : 如果 T 是 singular, 則 T 會將 |R^n 降低維度。
: : 故 |T(E)|_e ＝ |T(E)| ＝ 0.
: : 由定理 1 之討論，我們可以寫出更為廣義的定理。
: : ┌─────────────────────────────────────┐
: : │(定理 2) 命 f:|R^n →|R^n, 若函數 f 將 F_σ set 送至 F_σ set 且將測度為 0│
: : │ 之送至測度為 0 之集合，則 f 將可測集送至可測集。 │
: : └─────────────────────────────────────┘
: : (定理 3) 若 f(x) 是 [a,b] 上之絕對連續函數，則 f 將可測集送至可測集。
: : 討論：上述所言之 f 將可測集送至可測集是指，若 E 為 [a,b] 之可測子集，則 f(E)
: : 也是可測集。這結論會成立是來自定理 2. 也就是說，一個絕對連續的函數會將
: : 測度為 0 的集合送至測度為 0. 注意到
: : ┌──────────────────────┐
: : │ Lipschitz ＝＞ 絕對連續 (AC) ＝＞ 連續 │
: : └──────────────────────┘
: : NOTE.
: : 如果 f 不再是 |R^n 送至 |R^n, 例如: |R^2 送至 |R 的連續映射，即使是 Lipschitz,
: : 也未必將可測送至可測。
: : 命 f: |R^2 → |R 的 projection. 且 E ＝ □_______
: : ^^^^^^^ 這一段藏不可測。
: : 顯然 E 依然在 |R^2 上是可測，但是當我們考慮了投影
: : f(E) ＝ _________ 為不可測集合。
: : ^^^^^^^
: : (習題) 命 V 為 |R^2 中一子集且 V 在 x 軸的投影為 [0,1].
: : 收集
: : F = {f:[0,1] → |R | (x,f(x)) is in V for all x in [0,1]}
: : 問：若 F 中沒有一個函數是可測的，是否 V 就是不可測的呢?
: : 答：未必.(留給你)
: 再次麻煩，謝謝。
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