推 math1209 :給個讚! 12/15 03:00
推 JohnMash :推 12/15 09:51
推 cxcxvv :感謝! 12/16 00:55
※ 引述《cxcxvv (delta)》之銘言：
: Are there any sequence a_n such that
: Σ(-1)^n *a_n diverges
: but Σ(-1)^n *(a_n)^(1/2) converges ?
: 想法:
: 覺得是有..
: 想找出兩組發散數列 a_n b_n
: 相互穿插可以互相抵消不至發散
: 但開根號後就不行
: 只是弄不出來
: 希望高手幫忙
假設 b_n = (a_n)^(1/2), S_N = Σ_{n=0}^N (-1)^n *(a_n)^(1/2)
, T_N = Σ_{n=0}^N (-1)^n *a_n
取 b_0 = b_1 = b_2 = b_3 = 0
對k>1
取 b_{4k-4} = 1/k, b_{4k-3} = 0, b_{4k-2} = 1/logk - 1/k, b_{4k-1} = 1/logk
(log是自然對數)
則 (i) S_{4N-1} = 0 (ii) b_n -> 0 as n -> inf
所以 S_N -> 0 as N -> inf
而對k>1
a_{4k-4} = 1/k^2, a_{4k-3} = 0,
a_{4k-2} = (1/logk - 1/k)^2, a_{4k-1} = (1/logk)^2
於是這四項的和(在乘了(-1)^n之後)即為 2/k^2 - 2/klogk
於是T_{4N-1} = 2(1/2^2+1/3^2+...+1/N^2) - 2(1/2log2+1/3log3+...+1/NlogN)
當N->inf的時候，等號右邊的第一項收斂，第二項發散(因為loglogx的微分是1/xlogx)
故T_n發散
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