Re: [中學] 求最大值

[doa2 (邁向名師之路)]

※ 引述《kimweixi (太賢)》之銘言：
: Q：A+M+C=10，A、M、C為非負的整數，求AMC+AM+MC+AC的最大值為多少？
: 想請教數學界的達人們這道題目該如何解呢？
: 望能有詳解~下台一鞠躬~謝謝~感恩!!!
設(x-A)(x-M)(x-C)=x^3-(A+M+C)x^2+(AM+MC+AC)x-AMC

                 =x^3-10x^2+(AM+MC+AC)x-AMC

x=-1代入得(-1-A)(-1-M)(-1-C)=-11-(AM+MC+AC+AMC)

因此AM+MC+AC+AMC=-11-(-1-A)(-1-M)(-1-C)=-11+(A+1)(M+1)(C+1)

亦即使(A+1)(M+1)(C+1)最大即可

由算幾不等式可知最大值應在A=M=C=10/3時

但A,M,C均為非負整數

所以應該在A,M,C為3,3,4時有最大值=-11+4*4*5=69

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◆ From: 1.200.154.2
推 kimweixi    :感謝大大的提供詳解！但我一個地方不懂的是
→ kimweixi    :A=M=C=10/3 ，但題目說A、M、C為非負整數，那也就是
→ kimweixi    :A,M,C為正整數或0的意思囉~上述成立的話~那此題目
→ kimweixi    :會有最大值發生在A=M=C=10/3，但10/3不是正整數耶...
→ kimweixi    :這樣就產生矛盾了.....
→ doa2        :所以我說最大值應該在3,3,4的時候阿..
推 kimweixi    :應該=確定 的嗎? 那要如何說明答案是3,3,4呢~"~
→ kimweixi    :從原本的A=M=C=10/3有最大值到 A,M,C必須為3,3,4
→ kimweixi    :才有最大值，這過程的轉換是如何說明呢?