[微積] Cos[Cos[Cos...[Cos[x]...]]]]=?

[harry901 (forcing to A cup)]

若有無限個Cos

lim    Cos[Cos[Cos[......Cos[x]]...]]]]] = ?
x->oo

一開始直覺是會被夾在1裡面...  但後來發現好像不是這麼回事

拆開來看   -1<=Cos[x]<=1   令  -1<=k<=1  取Cos   由於Cos在-1~1之間值一樣

使得   Cos[-1]<=Cos[k]<=Cos[1]     0.54<=Cos[k]<=0.54  Cos[k]=0.54

最後Cos[Cos[k]]=0.85
Cos[Cos[Cos[k]]]=0.703

即是求Cos[Cos[Cos[...[Cos[k]]]....]=?
則令Cos[Cos[Cos[...]]]]=y   使得   Cos[y]=y  解之y=0.73

到底...這個東西真的收斂到0.73嗎?  我用軟體跑是這樣沒錯  但好像怪怪的...

補個圖
http://ppt.cc/I1L2

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.134.252.177
※ 編輯: harry901        來自: 220.134.252.177      (12/18 01:55)
推 ntust661    :這個解就是 x = cosx
推 ntust661    :http://ppt.cc/OQv,
→ bineapple   :在圖上同時畫出y=cosx和y=x 範圍x=0~π 可以看出不管
→ bineapple   :x的起始值是多少 經過多次cos後都會趨近到0.73那個點
→ a016258     :為什麼這個解就是 x= cosx ?
→ bineapple   :設極限為L a_0=x a_(n+1)=cos(a_n) 則L=lim a_(n+1)
→ bineapple   :=lim cos(a_n)=cos(lim a_n)=cos(L) 當然你要先說明
→ bineapple   :極限存在
推 a016258     :上面同意~ 問題就在極限存在， lim x->infinty cosx
→ a016258     :極限有存在嗎?
推 a016258     :還是說 可以把它視為 0~2π的任意數~ 又你說的不論起
→ a016258     :始值，所以可以得到收斂? 謝謝開示~
推 ToMoveJizz  :真是有趣的問題@@
推 noborukun   :這個問題最麻煩的地方是極限的存在的證明
→ bineapple   :畫個圖很容易看出來就是了 這算是動態系統入門
→ bineapple   :因為不管x是什麼 被cos作用兩次後一定會落到[0,1]中
→ bineapple   :所以上面那個圖其實可以把x範圍限定到[0,1]
→ bineapple   :然後在x軸上挑一個[0,1]中的初始值 往上畫直線撞到
→ bineapple   :y=cosx的圖 再往水平方向畫橫線撞到y=x的圖 接著再次
→ bineapple   :往垂值方向去撞y=cosx 重複此步奏能發現畫出來的線會
→ bineapple   :轉到y=cosx和y=x的交點 而那些撞到的點的x值就正好是
→ bineapple   :x_0(初始值) cos(x_0) cos(cos(x_0)) ...
推 a016258     :嗯嗯~ 看圖感覺是收斂了~感謝~ 不過有沒有證明?
→ birdhackor  :不等式不能-1<=k<=1  取Cos吧 k取0的話 cosk=1
→ birdhackor  :所以第二步應該是 0.54<=cosk<=1
→ birdhackor  :接下來範圍會不斷震盪~逼近0.73