Re: [其他] 二項式定理與多項式

[herstein (翔爸)]

把上面幾位大大推文整理一下

假設R={0}是trivial ring，那麼多項式環R[x]={0}是一個trivial ring。
這個多項式環只具有0多項式。

如果要把0^0=1引進所有的代數裡面是不可能辦得到的，因為1根本就不存在在R
和R[x]中。trivial ring提供了一個很好為什麼，在代數學中，x^0=1只是一個
notation的例子。事實上，在R[x]這個多項式環中，每個多項式還是可以表示成

        0+0x+0x^2+...+0x^n+... =0多項式by defn。

但這裡的0x^k並不是真的0*x^k，只是形式上這樣寫。但是，把R[x]看成R-module
的時候，0*x^k是係數積(實際上也只是把他看成第k+1座標為零)。

那麼如果把R[x]實際表示出來，他就是由0所組成的序列(0,0,0,0,.....,0,...)。
這很自然的構成一個環。

如果要在這多項式環的系統中引進1，是非常奇怪且不自然的，因為1根本就不存在。

yee:免費給你上點代數課

S是一個非空集合，f:S╳S-> S是一個函數。我們把f(a,b)記為a*b。
如果函數f滿足性質(稱為二元運算)
(1)a*(b*c)=(a*b)*c就稱此f滿足結合律
(2)如果e是S中的元素，滿足e*a=a*e=a，就稱e是此運算的單位元素
(3)如果對任何的a都可以找到b，使得a*b=b*a=e，就稱b是a的在此運算的反元素。

集合S與滿足上述三個條件的f就稱為群。群是一個具有運算結構且滿足一些性質的
集合。如果這個乘法結構滿足:對任意S中的a,b恆有a*b=b*a，就稱S為(加法)交換群。
e通常也就被記為0，此時也會很習慣的把*記為+。

環呢?他是具有兩種二元運算的集合(R,*,+)。他具有加法交換群的結構，
而另外一個二元運算*就稱為乘法。而這兩個運算滿足的性質可以在
http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)
看到。

在環R中，有加法與乘法兩種運算。x*...*x(n個)就記為x^n(如同上一篇)
加法x+...+x(n個就記為)nx。nx跟n*x並不一樣。n*x指的是把n視為R中的元素，
然後n*x是R中的乘法結構得出來的東西。此時的x是R中的元素並非變數。

如果e是R中的元素滿足a*e=e*a=a forall a，則我們稱e是R中的乘法單位元，
並且把e記為1。如果交換環是具有1的，n =實際上指的是n1(n個1相加)。
那麼n就存在在R中n*x當然就存在在R中。

lemma:當R是具有單位元素的環。則n*x=nx。x是R中的元素。
pf:用歸納法。
當n=1顯然，n=2時， 2*x =(1+1)*x = 1*x+1*x =(這個等號用到了乘法單位的性質)x+x
                       =2x

假設n=k時 k*x = kx。那麼(k+1)*x =k*x+1*x =(這個等號用到了歸納法假設
與1*x=x)=kx+x=(這個等號用到了nx的定義:k個x與1個x相加就是)(k+1)x
於是n*x=nx對所有的n恆成立。

注意:在不具有單位元素的環中n*x是沒有意義的，其中n是整數，x是R中的元素。
即便是看起來顯然的東西，一點也不顯然。

然而nx只是notation，是n個x相加的notation。x^n是一個notation，n個x相乘的
notation。因為實數是具有1的交換環，所以在實數中n*x =nx是成立的。
但在一般不具有乘法單位元的環中，n*x是沒有意義的。

yee定理沒辦法被推廣到一般的代數結構上，如果你要說這是垃圾，那就是垃圾。

yee說得很對，數學就是需要完美。0^0=1無法推廣到所有的代數結構上，他就是不完美。
一個不完美的東西，憑甚麼讓數學家"通盤"定義0^0=1，還說這是我們的問題?問題就是
你的yee定理，yee axiom最大的毛病就是在於只能包含實數或複數域而已。
如果A^B是表示從A->B的函數個數，那麼0^0=1還有意思一點。

忘記講了二項式定理在不具有單位元素的交換環是成立的，換句話說，
二項式定理的證明沒有用到單位元素1，所以不要再說二項式定理需要1了。

Sigma的義義如同好幾篇前回的，只是一個記號，為了簡化和所規定的符號。
他並不是公式。Sigma_k=1^n 1/k只是表述 1+1/2+...+1/n的記號。

Σ_k=1^n ar^(k-1)= a(1-r^n)/(1-r)

這個包函了公式，公式的部分是 a+ar+...+ar^(n-1)=a(1-r^n)/(1-r)。
而Σ_k=1^n ar^(k-1)只是表示a+ar+...+ar^(n-1)和。真正有意義的部分
是在於a+ar+...+ar^(n-1)=a(1-r^n)/(1-r)。

例如Σ_k=1^∞ 1/k 是可以這麼寫，但是他沒有意義。因為這個級數和發散。

當我們引進sigma符號時，我們只是想表達出我們心中想的是求和。
真正有意義的還是必須把和算出來。而非符號本身是公式。

因此既然sigma只是符號，我們當然可以有約定俗成的方式來記他的符號。

例如積分符號∫f(x)dx他本身也只是符號，他表示的是f(x)的不定積分。
∫f(x)dx =sinx +C表示的是(sin x+C)'=f(x)。所以∫只是符號。
很多時候∫f(x)dx是寫不出一個一個式子來的。∫跟sigma只是符號而已。
所以不要把符號使用跟公式搞混。



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◆ From: 195.37.209.180
※ 編輯: herstein        來自: 195.37.209.180       (12/19 22:22)
推 josh28      :你覺得這真讚
→ josh28      :話說我好想請東勇哥來發聲一下 他的回應一定會很有趣
推 didihung    :覺得你的文章「R: [其他]二項式定理與多項式」很讚。
→ herstein    :我是東勇哥的弟子，當然要幫他出來讚聲一下。
推 Eeon        :我覺得他一定看不懂，而且也不會想看，但是
→ Eeon        :數學系的學生，有學代數的，務必要看，
→ Eeon        :而且要看懂，確定真的了解每一個字的意思。
yes...我每次回文都是希望其他人能搞清楚，並不奢望yee能懂。
推 noborukun   :推一下frank，不過yee先生看不懂吧
推 Eeon        :不過，不知道這一棟會不會又變世界奇觀。
→ bineapple   :他可能又會說這些都是為了不定義0^0而定義出來的....
推 Eeon        :會覺得一堆專家會為了排除一個鼻屎大的問題，蓋
→ Eeon        :出好幾棟101的人的想法也挺妙的。
※ 編輯: herstein        來自: 195.37.209.180       (12/20 00:39)
推 bohsing     :推推推推推!~!!
→ yee381654729:有1的環，零次方就定義為1，沒有1的用現在的定義。
→ yee381654729:因為1是零次方最合理的定義。
→ josh28      :合理?在整個代數上 他沒辦法做任何合理的推廣
→ josh28      :在分析上 看成單純的數值運算他也一點都不合理
→ josh28      :代數也不合理 分析也不合理 1哪裡是最合理的定義?
→ josh28      :不定義才是最合理的就是因為"定義成什麼都有不合理"
→ josh28      :1根本只是相較之下比較不爛的那顆蘋果而已
→ josh28      :老實說我以前也以為不定義只是還在爭論中而已 多虧有
→ josh28      :你這位沒學過數學的來亂 釣出高手回文我才知道不定義
→ josh28      :才是最合理的 所以才會讓不定義變成共識
→ yee381654729:它當然可以推廣。讓x^0這個notation合理化。
→ josh28      :你需要的不是數學 你需要的是英文翻譯
→ yee381654729:在使用Σ表示時，也不會有所顧忌。
→ yee381654729:二項式定理在零次也可以成立。
二項式定理中的(x+y)^2= x^2+2xy+y^2中的2xy,y^2,x^2只是表示x^2,y^2,xy的個數。
證明因此不需要用到1。
(x+y)(x+y)=x^2+xy+yx+y^2, 因為xy=yx，所以xy+yx=2xy因為有兩個。
也因此(x+y)^2 =x^2+2xy+y^2
用歸納法論證二項式定理只需要使用到組合數跟nx,x^n的定義，
用不到單位元素1，因此不能說1是合理定義0^0=1的理由。
→ josh28      :notation的中文是"符號" 符號還有合理不合理之分?
→ yee381654729:這些符號推導出來的公式，至終是為了代數字進去。
→ josh28      :x跟ㄅ這兩個符號會有誰比較合理的問題?lol
→ yee381654729:能不能代入數字，來判斷是否合理。
所謂的代數字在代數學中也有嚴謹的定義。即便是在不包含單位元素1的R所生的多項式環
R[x]。a_0+a_1x+...+a_nx^x只是形式上的寫法。a_0,a_1,...,a_n在R中，如果r在R中
那麼a_0+a_1*r+...+a_n*r^n也屬於R中。這裡的*是R中的乘法。這一的取值，
是來自於環的乘法與加法結構，並沒有用到乘法單位元素。所以我們就把
a_0+a_1*r+...+a_n*r^n記為f(r)，讓多項式f"視為"R上的函數。

如果要區分R包含1跟R不包含1來定義不同的取值方式，這有點脫褲子放屁了。
因為不需要這麼做就可以定義的東西為什麼還要特別的去定義?況且，很多
交換環並不具有乘法單位元。


→ josh28      :那個叫做"算數" 是代數理論的"一個應用"而已
→ josh28      :問題根本就是你根本沒唸過代數才會鬧這種笑話zz
→ yee381654729:能應用就是比較合理。
→ josh28      :ok阿 那就讓f(x)=x^0阿 於是這個函數在0以外的地方都
→ josh28      :等於g(x)=x乘上h(x)=1/x 但是0那點就不是
→ josh28      :然後你說0^0=1  因為所有其他點都是1 這樣?
→ josh28      :這樣用到連續性這個"無限上綱"理由的人就是你阿!
→ josh28      :還是你要說x^0跟x乘以1/x無關?好阿 那也可以 就讓他
→ josh28      :變成一個常數函數=1 令f(x)=1 對所有x 然後你的二項
→ josh28      :式定理在變成(先只列一次的情況)x+y=x*f(y)+y*f(x)
→ josh28      :蛤?意義何在?應用何在?讓一個常數函數有一個獨特的符
→ josh28      :號x^0稱的上有任何應用嗎?
→ josh28      :之前不是曾經說"數學理論就是要追求完美"?
→ josh28      :怎麼現在變成追求"比較合理"而已啦?
→ josh28      :另外 代數理論有非常多非數值運算上的應用 而在這些
→ josh28      :應用上0^0=1就跟本篇說的一樣根本不能合理推廣
→ josh28      :隨便舉例 為什麼n次多項式在實數上不見得有n個解 但
→ josh28      :在複數上就一定找的到n個解?(包含重根)
→ josh28      :為什麼五次以上多項式我們找不到公式解?
※ 編輯: herstein        來自: 88.77.154.212        (12/20 09:18)
→ josh28      :為什麼可用Eisenstein's criterion判斷整系數多項式
→ josh28      :能不能繼續分解?我舉的這些都還只是多項式環上的應用
→ josh28      :要講應用 這些應用絕對比"為了讓二項式定理左右符合"
→ josh28      :還要更實用 二項式定理那個"應用"就只是讓(x+0)^n多
→ josh28      :了個表示法x^n*0^0 基本上我根本不認為這叫應用
→ josh28      :基本上我們先讓一步讓你把標準從"追求完美"變成"比較
→ josh28      :合理" 在讓一步變成"有應用就算合理" 0^0=1依然還是
→ josh28      :比較不合理的那一個好嗎?
→ josh28      :0^0=1在環上是個不能合理推廣的定義 而環的應用我隨
※ 編輯: herstein        來自: 88.77.154.212        (12/20 09:30)
→ josh28      :便舉就舉出三個最廣泛的 而你東講西講就只能講出讓
→ josh28      :二項式定理人為寫出來的Σ形式裡面x用0取代後也能通
→ josh28      :而且這還根本沒有"應用" 就算給小學生算題目也根本沒
→ josh28      :人會特別在x^n旁邊乘上0^0這一項(當然 除了你以外)
→ josh28      :你自己計算某數的n次方的時候會多乘上0^0是你的自由
→ josh28      :但是要講"應用"還真的是連毛都沒沾上邊阿
→ josh28      :我退個一千萬步勉強稱這叫做"應用"好了 多項式環的應
→ josh28      :用依然是比你的還多阿 所以"有應用就算合理"的話不
→ josh28      :定義0^0依然還是更合理阿(本文已經說過了 環裡面0^0
→ josh28      :不定義比定義成1合理 照你的邏輯它有應用=合理)
→ josh28      :你的立場已經一退在退 那你接下來還要退去哪邊?
→ josh28      :要不要退到"搜集到比較多人支持的就比較合理"?
→ josh28      :如果你做的到的話我還真不反對定義0^0=1 哈哈
推 doom8199    :某種程度上，我蠻佩服 yee大 討論的堅持與毅力
→ doom8199    :不過可以不要在 math板上討論相關話題嗎 XD
→ doom8199    :怎麼討論基本上就是那幾個點在打轉
推 josh28      :樓上google一下"yee 0^0"你大概會更佩服它真有這麼閒
→ josh28      :因為他大概08年(或更早)就到處跟人吵這件事情了...
→ doom8199    :我知道他已經在其它論壇戰好幾年了
→ doom8199    :所以才說繼續討論下去也是無果
→ doom8199    :何不歇著做自己當下該為之事
推 windlike01  :我想經過大家的努力,y版友的確是有進步的!
→ windlike01  :首先是認識到二項式定理可以應用於非複數系統的環.
→ windlike01  :接下來是了解到環的確是可能沒有乘法單位元的.
→ windlike01  :理由是他將主張退化為"有1的環，零次方就定義為1"!
→ windlike01  :目前只剩下他是否能接受這樣的主張是"多此一舉了"吧!
→ windlike01  :這個討論我認為最重要的是,質疑專業前,要先了解專業!
→ windlike01  :不然只是鬧出許多笑話吧!大家引以為誡!
※ 編輯: herstein        來自: 88.77.154.212        (12/20 12:14)
→ yee381654729:區分有1的環與沒有1的環，仍是合理的。
→ yee381654729:複數是最常用的，複數的零次方定義為1是比較合理的。
→ yee381654729:理由我已經說過，許多公式寫得簡潔、限制少。
→ yee381654729:觀念上也很直觀。不做乘法不必先乘再除。
→ herstein    :當然是必須要區分有1跟沒有1的環。
→ herstein    :其實公式一直都沒有限制。符號跟公式還是有差異
→ herstein    :二項式定理的公式是x^n+C(n,1)x^(n-1)y....+y^n
→ herstein    :sigma的形式只是符號記下這個公式，所以sigma本身
→ herstein    :並不是公式，這就是上一篇我在談的相信yee大也比較懂
→ herstein    :如果yee大定義了0^0=1，實際上是在使用1，沒有用到0
舉例來說好了，照yee大的二項式定理公式(考慮複數的情況)
(x+0)^2 =x^2*0^0 +2x*0+1*0^2
實際上因為0^0=1，所以
(x+0)^2=x^2*1 +2x*0+1*0^2
但這個式子即使沒有定義0^0=1，也是對的。所以0^0=1輪為notation。
其實記這樣的notation也可以啦。就叫yee notation convention。
yee大其實可以不需要試著在說服我們了，如同doom大說的。
因為月光寶和無限啟動，已經開無限大絕了。
會寫這篇文章，也是因為覺得，很多學代數的人並沒有仔細想過n*x跟nx的差別。
並不只是因為要跟yee大辯論。只是從yee大身上可以得到一些教學的點子。
例如說，有些東西我們認為是顯然的，沒仔細想其實還真不顯然。
以後我在教代數課的時候，一定會更小心。當然並不是因為我們這幫人想
取笑你。只是科學的發展就是如此，就是必須經過無數的爭辯，慢慢形成的共識。
物理上，化學上的猜想都是必須經過實驗驗證，而數學的定義，公設系統，都是由
數學家均同意的情況下才會建構出來。

我昨天跟某位日本籍數學家聊，他告訴我，広中平祐在他年輕的時候告訴他:
chase something big。他把同樣的話告訴我，這是他給年輕數學家的建議。
同時他也跟我說，數學的理論是必須經歷所有人的考驗，是就是，不是就不是。
當年Atiyah跟Singer宣稱指標定理是對的，很多人並不是那麼滿意。因為
他門還沒給了完整的證明。理論整整發展了很多年的時間，他門才給出了完整的
證明。這其實呼應了YEE兄的說法，數學就是要完美。完美就是在於用最少的
公設系統，建立出能通盤應用的理論。

一個多禮拜前，我看了Yu. Manin的紀錄片。知道早期俄羅斯數學家跟外面數
學界的鴻溝。直到某一年的ICM，雙方才有真正的交流。數學，也是經歷過
許多艱困的時期，才有現今完整的理論。是經歷過歷代著名數學家的努力才產生。
現在幾所著名的數學研究所，當時成立也是很窘困。Hirzebruch說，當年
馬普所真得很少人，只來了一個Don, Zagier。為了解決這樣的窘困，
他每年列了二十五個俄羅斯籍數學家，一個一個寫信給他門。只是都沒有回應，
在代數幾何發展的初期，葛羅深迪克扮演著領導者的角色帶領了一堆著名的數學
家前進。Deligne, Mumford, Manin等。都參予了當時候的空前盛事。數學
就這樣的一代一代傳承到我們身上，由我們在傳承下去。

數學絕對在乎枝微末節，證是這些枝微末節才建立起強大的數學體系。你所發展
的理論，絕對不是只有方便不方便，還必須經由所有數學家的考驗。我不是沒看過
演講者被大頭轟。為什麼需要作道這樣呢?正式因為數學追求的完美的理論，
只有對跟錯。

當一套理論不需要畫蛇添足的去定義的時候，數學家也不會去定義。
真正的數學家，都是chase something big。0^0=1不重要。

那不重要為和我又要回?是因為其中的代數理論有很多枝微末節的東西很多人
可能搞不清楚，所以怕被某人誤導，我只好很仔細的寫。而會回應這一篇，也是因為
要告訴大家n*x跟nx的差異。我相信很多人搞不清楚的。

然後有空回一回，順便講講故事，不然還沒有動機來寫東西。
※ 編輯: herstein        來自: 88.77.154.212        (12/20 15:06)
推 Eeon        :還在那邊用Σ會有所顧忌，一直都沒有顧忌也沒有問題
→ Eeon        :上一篇，我跟你解釋幾次Σ裡面x^0y^n這種項使用的
→ Eeon        :意思和約定俗成了？！叫你沒本事用，就不要用；
→ Eeon        :你還是硬要用，然後搞一些毛，這麼喜歡自殘啊。
→ Eeon        :老師在講，你都沒有在聽嘛！
→ Eeon        :x^0這個notation本來就很合理了，哪需要什麼0^0來
→ Eeon        :合理化，不懂的話，真的去多唸書，比較實在。
推 Eeon        :跟你這種程度交流，連討論都撐不上，自己看不懂的地
→ Eeon        :方，就說這東西這理論不合理；說教你嘛，你又不聽
→ Eeon        :不看不學，只會一直當收音機重複播放有問題的帶子跳
→ Eeon        :針；教小學生也沒什麼教你這麼累。
→ Eeon        :想說不教你算了，不想理你，眼不見為淨，叫你自己
→ Eeon        :去旁邊玩沙就算了，結果，你也不要，就是要上來現。
→ Eeon        :這是什麼樣？
→ Eeon        :其實n*x跟nx的差別，大學代數教科書講環的時候，大多
→ Eeon        :一開始就會講了，還會放成lemma，只是初學者可能看
→ Eeon        :不太懂意義，然後想說，反正看起來都差不多，大概都
→ Eeon        :一樣，不管了，直接往下看了；而沒注意到其實差多了
→ Eeon        :話說回來，有這種電池用不玩的收音機，可能要蓋幾
→ Eeon        :棟世界奇觀都蓋得出來。
推 Eeon        :你提出的支持論點都被擊破潰散了，要繼續玩，要拿
→ Eeon        :新理由出來，才能繼續戰，所以我才叫你回去養牛，端
→ Eeon        :牛肉出來，結果咧？！還是繼續拿Σ，二項式定理無
→ Eeon        :限迴圈，說什麼方便就是牛肉，你連論點已被全面回應
→ Eeon        :潰散了，還不知；結果還想要扯0!陪葬，結果弄巧成拙
→ Eeon        :反而更慘，連戰況都看不清，有什麼能力跟人argue？
→ Eeon        :自欺欺人，說戰況良好，還有得戰，就可以繼續了嗎？
推 Eeon        :（忽然覺得，我的開關被打開了，有點關不掉>/////<
推 Eeon        :sigma裡,k=0時，a_0 x^k代表a_0，這種約定俗成用法
→ Eeon        :隨手拿一個最近幾個星期，要跟師公報告的一篇學術論
→ Eeon        :文，供版友參考：http://arxiv.org/abs/math/0411046
→ Eeon        :PDF載點：http://tinyurl.com/7ve2vg3
→ Eeon        :內文第一行就寫此篇考慮的環不一定有1了，
→ Eeon        :下面一沱庫的 sigma，可以看到超爽的咧～～～～～
→ herstein    :今天的Eeon沒有界限.....XD
推 Eeon        :這個副本太難了，我發現我用本來的職業和Spell，根本
→ Eeon        :連BOSS的Def都破不了，一根毛都摸不到，BOSS依然不動
→ Eeon        :如山，所以小轉職，看有沒有辦法讓BOSS扣1滴血。
→ yee381654729:方便性、式子簡潔、限制少、直觀，都是對的。
→ yee381654729:並沒有被擊潰。
推 Eeon        :本來就沒有不方便、式子本來沒有問題、限制本來就
→ Eeon        :沒有變多、本來那樣就很直觀。你有那麼多毛，唯一
→ Eeon        :的原因就是你不懂；不懂沒關係，人家跟你說了，
→ Eeon        :要去學，要去弄懂。大軍都知道沒有特異功能，就要
→ Eeon        :回家了；怎麼你連這都不知道？
推 Vulpix      :x^0很方便、x^0很簡潔、x^0當成偽1限制也很少、直觀
→ Vulpix      :的程度則跟0^0=1一樣。不一樣好吃，你要選哪一種？
推 Eeon        :到現在還覺得沒有被擊潰，真是自我感覺良好。
→ yee381654729:把偽1變成真正的1不好嗎？
→ Vulpix      :理論不要x也是天下無敵的。 沒有人身攻擊唷^o^
→ yee381654729:請問沒有1的環，在現有定義之下，零次方為何？
推 Eeon        :祖師爺，你的補師攻擊果然也是完全無用。
→ Vulpix      :不好，因為常常沒有1...   這樣更具普適性
推 Eeon        :在一般的環裡，操作上，跟本沒有那個必要去定零次方
→ Vulpix      :沒有1的話不會去定義0次方喔^^  因為根本不care啊
→ Vulpix      :但是多項式還是要用的，所以x^0這種符號仍會出現。
→ Vulpix      :但這時沒有人會去往x裡代任何數字。
推 Eeon        :x^0也不代表是定義為"x的零次方"，就只是個符號而已
→ Eeon        :sigma a_ix^i, i=0~n　表示 a_0+a_1x+..+a_nx^n而已
→ yee381654729:看來把有1的環區分出來確實比較好。
→ yee381654729:沒有1的環再當notation就好了。
→ Eeon        :裡面i=0那項，並不是說把x拿來做一個零次方的操作的
→ Eeon        :意思。
→ Vulpix      :但是把沒有1的環一起討論不是更方便嗎？
→ yee381654729:不能代值的notation太不直觀。
→ Vulpix      :即使有1，把x^0純粹當成1的記號也沒有任何問題啊。
→ yee381654729:代值在應用上有其重要性。
→ Vulpix      :這樣的理論更一般也更實用，不用為了1而發展另一套
→ Vulpix      :理論。
→ Vulpix      :如果兩個多項式代值後都一樣，會是一樣的多項式嗎？
→ yee381654729:不管有沒有1的環，a x^0=a，可以一起討論。
→ yee381654729:差別在於可不可以代值進去。
→ Vulpix      :當然不是！係數環是有限體的時候很顯然。
→ Vulpix      :代值的觀點應該是要從多項式中抽離的概念，我繼續說
→ Vulpix      :明。
→ Vulpix      :(當然冪級數也是同樣。)
→ Vulpix      :Z_2[x]中x,x^2應該是兩個不同的多項式，但是他們在
→ Vulpix      :Z_2上都表示相同的函數，f(0)=0,f(1)=1。
→ Vulpix      :但說是抽離，其實是另外賦予意義，但x!=x^2在Z_2[x]
→ Vulpix      :中是顯然的。
→ Vulpix      :當然不只有限體會出事，還有很多環也會。
推 Eeon        :現在不定義0^0根本問題的癥結是：0^0這東西根本用不
→ Eeon        :到，定了也只是增加整個系統的衝突。那幹嘛去定他？
→ Eeon        :而計算數學之類的領域會喜歡定0^0等於1，就是因為
→ Eeon        :在整個程度碼或者一些電腦運算操作上，會去碰到，
→ Eeon        :所以定0^0為1可以避運一些程式執行上的問題，
→ Eeon        :而計算數學，也比較不用像純數考慮一些比較
→ Eeon        :嚴謹的問題，定0^0為1也不會增加什麼系統衝突，
→ Eeon        :那就給他定了，也無仿。但是整個數學界不是只有
→ Eeon        :計算數學領域而已，大家投票投一投的共識就是
→ Vulpix      :但我舉Z_2的理由是他最簡單，而且也是我們用著的電腦
→ Eeon        :不要定義0^0，省得麻煩。
→ Eeon        :你的一個問題就根本無視純數領域是要有潔癖的，
→ Eeon        :跟本純數領域那些不定義0^0的純淨理由，硬要定一個
→ Vulpix      :應用最多的環。
→ Eeon        :純數用不到的0^0進去，叫做純數的人吞下這個可能有
→ Eeon        :塑化劑的東西去；如果你可以提供一百萬獎金，說喝
→ Eeon        :一瓶拿一百萬，那勉為其難，可以放棄0.00000001公
→ Eeon        :分喝下去。但是請你拿獎金，端牛肉出來，卻又拿不
→ Eeon        :出什麼真正有價值的東西，那我幹嘛沒事喝這東西啊。
→ herstein    :yes......
推 Vulpix      :為了一個人造的記號x^0而硬是給他代值的意義是很
→ Vulpix      :簽強的。
推 Vulpix      :牽
→ sleep123    :不知道跳針王有沒有學過代數？
推 Eeon        :然後，符號該寫清楚就寫清楚，我是寫 sigma裡
→ Eeon        :a_i x^i 當i=0時，代表展開的和式裡，這是加上a_0的
→ Eeon        :意思，並不沒有把sigma就丟掉不說，只寫a x^0=a
→ Eeon        :一個符號的意義會隨著他所在的環境地點，而有所不同
→ Eeon        :描述的時候，不能隨便亂丟一些東西掉的。
→ Eeon        :上幾行，應該是 "並沒有把sigma就丟掉不說"
推 TRAP        :又有新大樓可以蓋了！靠腰！又是世界奇觀！！
→ Eeon        :你寫那句子要出現是另一個場景，比方說，用
推 TRAP        :是要用多久～～
→ Eeon        :{x^i | i is an nonnegative integer},R造 R[x]
→ Eeon        :出來了啊，先生，您為什麼要這麼招急？
→ TRAP        :你要一個高中數學都搞不清楚的弄這個喔？
→ Eeon        :啊，現在在講sigma和式，sigma被略了，看了不蘇湖啊
推 Eeon        :要拿掉sigma，就是寫出來了啊，出來了就寫
→ Eeon        :a_0+a_1 x+a_2x^2了，不會寫a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2了
→ Eeon        :（當然硬要寫後者，懂得也是看得懂，但是現在的戰況
→ Eeon        :就要講清楚，說明白。）
推 nobunagaoda :你要一個高中數學都搞不清楚的弄這個喔？+1
推 Eeon        :看了看，發覺不蘇湖的點就是那個等號，
→ Eeon        :A代表B，不代表可以隨便寫A=B這樣的式子；
→ Eeon        :sigma裡a_ix^i代表a_0，寫個ax^0=a，會跟恆等式
→ Eeon        :的符號發生衝突混淆，看起來好像左邊是一個乘法。
→ Eeon        :但事實上，sigma展開i=0項,並不涉及這樣的乘法操作。
推 TRAP        :沒差啦 他一直不去弄懂的就是 ax^0 和 二項式定理
推 Eeon        :這就是從一開始，herstein就提及的notation概念。
→ TRAP        :的那個 x^0  從來就不是函數 根本不能代值
→ TRAP        :就是不去弄懂什麼叫做代表 一定要在那邊代.代.代個鬼
推 nobunagaoda :notation只是一個方便描寫的工具，不是嚴謹的數學
→ nobunagaoda :，表示工具不需要遵守現有、可用的代數結構，但定義
→ nobunagaoda :0^0就不是notation的問題，這是兩回事。
推 Eeon        :從這邊所注意到來看，我們也可以看出用 1*x 來解釋
→ Eeon        :x 的是一個因果倒置的說法。x就是x，是先有了運算，
→ Eeon        :先有集合，乃至元素x後，我們發現有一個東西e可以
→ Eeon        :滿足e*x=x*e=x的性質for all x，才去定義e是一個
→ Eeon        :單位元，而有了單位元的觀念。
→ Eeon        :當然根據單位元的定義，e*x運算後和x是同一個元素；
→ Eeon        :但是如果想要反過來，強用e*x去解釋x的話，
→ Eeon        :則是一個因果倒置的解釋方法。
→ herstein    :Eeon要報告了所以壓力很大齁XD
推 TRAP        :對啊有些性質一直搞不出來 問祖師爺好了
→ TRAP        :那些論文作者都喜歡唬爛說什麼顯然或易證
推 Eeon        :唸到快吐了,啊～嘶～師公自己都說那篇很難Follow了。
→ yee381654729:能代值還是比較合理。數學上大部分的領域是在複數環
→ yee381654729:裡來討論。其它環比較少見。
→ yee381654729:一個公式你要區分x^0是符號還是可以代值，
→ Vulpix      :這可不能裝作沒看見。光是從複數體就不知道多了多少
→ yee381654729:是增加困擾。
→ Vulpix      :環了。算子代數什麼的。
→ herstein    :這討論到此為止吧~~因為已經沒有意義了
→ herstein    :能釐清的點也幾乎都釐清了~~~
→ herstein    :其實沒有必要再跟用月光寶盒開大絕的人討論下去了
→ herstein    :板主已經決定要鎖此文，基本上同意。
→ herstein    :數學上的環有很多種，不是只有複數域而已。
推 Eeon        :現在第四台又在播九品芝麻官了，剛剛又聽到審案那
→ Eeon        :裡的：　賤人賤人～ XD 有空的，不如去看電視？！
→ herstein    :Eeon,壓力大需要解放一下XD
→ josh28      :能代值合不合理你要看那個函數本身何不合理阿
→ josh28      :讓0^0=1 於是f(x)=x^0=1 是個常數函數 但是顯然的在
→ herstein    :現在所內是coffee time，要去跟其他數學家聊天了...
→ herstein    :今天已經喝了一杯，等一下應該還會再喝一杯....
→ josh28      :0那點f(x)不能寫成x^1*x^-1 所以x^0這個符號就只是1