我先舉個例子:
t^2
若 f(t) = e
則可以列舉一個 ode: y' - 2t*y = 0 with y(0) = 1
使得上式的特解為 y = f(t)
但若用 Laplace Transform 下去解該 ode
很明顯會出錯，因為 L{y(t)} 並不存在
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我發現從以前學到現在
解 ode 、 pde 、或 difference eq. 的問題
很常用 LT、FT、DTFT、ZT ...等轉換來解問題
但在套用之前
都沒考慮到一件事情
就是需證明轉換後的函數必然會在某個 frequency domain 下收斂
反而是先假設 "轉換存在" , 其後再去推敲收斂區間為何
可是因為教科書或考試的緣故
都把我(們) 訓練成先套在說 (至少對工科學生是如此)
反而忽略了要先證明其 mapping 後的函數是否會存在，才能做 mapping 後的運算
例如要解一個連續一階可微 y(t) 的 ode: y' - 2t*y = 0 with y(0) = 1
若想用 LT 去解
應該要先證明 Y(s) = L{f(t)} converges for some regions s in |C
若都不存在，則 LT 這個方法 fail => 另尋它法
存在，則安心使用 LT
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我不確定我這樣子想有甚麼盲點
有可能在應用上，我們會希望轉換後的的函數有意義
但若單純就解 eq. 的角度而言
請問我這樣子想是正確嗎 ?
若正確的話，請問要怎麼根據題目的條件來證明 Y(s) 存在 (以上例而言) ?
感謝各位大大的解惑~
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