Re: [其他] 函數轉換存在性問題

[dogy007 (dogy007)]

※ 引述《doom8199 (～口卡口卡　修～)》之銘言：
:     我先舉個例子:
:                   t^2
:       若  f(t) = e
:       則可以列舉一個 ode:   y' - 2t*y = 0   with y(0) = 1
:       使得上式的特解為  y = f(t)
:       但若用 Laplace Transform 下去做
:       很明顯會出錯，因為  L{y(t)} 並不存在
: ----
:     我發現從以前學到現在
:     解 ode 、 pde 、或 difference eq. 的問題
:     很常用  LT、FT、DTFT、ZT ...等轉換來解問題
:     但在套用之前
:     都沒考慮到一件事情
:     就是先證明轉換後的函數必然會在某個 frequency domain 下收斂
:     反而是先假設 "轉換存在" , 其後再去推敲收斂區間為何
:     可是因為教科書或考試的緣故
:     都把我(們) 訓練成先套在說 (至少對工科學生是如此)
:     反而忽略了要先證明其 mapping 後的函數是否會存在，才能做 mapping 後的運算
:     例如要解一個連續一階可微 y(t) 的 ode:   y' - 2t*y = 0   with y(0) = 1
:     若想用 LT 去解
:     應該要先證明  Y(s) = L{f(t)}  converges for some regions s in |C
:     若都不存在，則 LT 這個方法 fail => 另尋它法
:           存在，則安心使用 LT
: -------------------
:     我不確定我這樣子想有甚麼盲點
:     有可能在應用上，我們會希望轉換後的的函數有意義
:     但若單純就解 eq. 的角度而言
:     請問我這樣子想是正確嗎 ?
:     若正確的話，請問要怎麼根據題目的條件來證明 Y(s) 存在 (以上例而言) ?
:     感謝各位大大的解惑~
不用那麼麻煩，我們假設解的 transform 存在，
亦即我們先只在有 transform 的函數裡面找解，如果我們依此找到解了
也驗證這的確是解，那我們錯失了什麼？
我們錯失了那些沒有 transform 的解，
不過許多方程式的解在適當的初值、邊界值等條件下，往往有唯一性
在這種情形下，如果找到了有 transform 的解，自然代表了沒有其他解
當然對於沒有唯一解的方程式，這種解法會錯失一些解
所以解的唯一性其實很重要
至於說如何由方程式中，證明出解具有如 transform 的性質
其實數學上不是沒有類似的東西，許多偏微分方程式我們是先證明
方程式具有某種 "weak solution"
然後再證明這個 weak solution 具有良好的性質

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◆ From: 220.132.177.99
推 doom8199    :大致了解想法了
→ doom8199    :我會問這問題是因為之前有遇過一個問題，若用
→ doom8199    :某種 mapping 下去做，原本 solution 該存在的
→ doom8199    :delta function 會因此而消失不見
→ doom8199    :只會留下有意義的解
推 herstein    :通常你的transform會把函數性質變得更好
→ herstein    :你用transform之後delta就會隱藏起來...
→ herstein    :但通常transform有一個1-1對應才有意思
→ herstein    :本來在考慮transform之前就應該要討論是否會收斂
→ herstein    :或是在某種意義下存在...
→ herstein    :這也是為甚麼你要先訂出你想要的"解空間"
→ herstein    :在想辦法去分析是不是在那解空間上函數有解