推 THEJOY :推補充 12/21 13:06
※ 編輯: herstein 來自: 195.37.209.182 (12/21 21:58)
※ 引述《mgtsai ()》之銘言：
: → yee381654729:能代值還是比較合理。數學上大部分的領域是在複數環 12/20 22:44
: → yee381654729:裡來討論。其它環比較少見。 12/20 22:45
: 其它代數方面的討論前文中一大堆人已談論許多，我就不特別提了
: 我就談多項式在非複數上的應用
: 數學發展至今，多項式的應用上，已經千變萬化
: 不會只限於複數空間上的使用而已
: 而且，在其它非複數域上的多項式，也不單單只限於數學這個領域
: 其它領域也用得很非常非常多
: 只把焦點放在複數上，只能說，這個花花世界的樣貌還看得不夠多
: 第一個例子，就是 GL(n) 環 (n 維線性映射環，直接一點可以當作 n x n 矩陣)
: 在計算特徵值相關的問題時，我們經常要操弄以 GL(n) 環為定義域的多項式
: 比如 Ａ^3 + 2 Ａ^2 - 3 之類，其中 Ａ 為 n x n 矩陣
: 這個以 GL(n) 環為定義域的多項式有太多地方會用到
: 比如解線性(常/偏)微分方程
: 還有一個領域使用得特別兇，就是物理量子力學的 operator
應該是領域不同，所造成的用字或符號的誤差，這裡補充一下。
通常GL(n)指的是n為可逆矩陣所形成的群，他本身不構成環。
而mgtsai大有說這裡的環指的是矩陣環，所以在gl(n)是李代數上的寫法，
不然就是用M_n(F)。
而A^3+2A^2-3I，這種多項式並非是"定義域"在M_n上，而是形如
{p(A):p是多項式C[x]}構成M_n中的交換子代數，這個交換子代數，
習慣上可以把他稱為A的多項式環，這個子代數跟多項式環有這樣的同態映射
p(x) 屬於 C[x] -> p(A)屬於M_n
看起來很像取值同態，但實際上，取值同態通常我們指的是
p(x) -> p(a), 當a屬於C時。
由Cayley-Hamilton定理可以知道，C[x]並不同構於子代數{p(A): p in C[x]}。
因為他具有一些relation，所以是同構於C[x]/I, I=ker(p->p(A))。
如果要以矩陣環當做多項式的係數並無不可，你考慮的多項式變成
A_0 +A_1x+A_2x^2+....+A_nx^n,
其中A_i均是矩陣，這才是我們指的係數是M_n上的多項式環，
並非A^3+2A^2-3I這種。而取值的方式變成
A_0 +A_1x+A_2x^2+....+A_nx^n-> A_0+A_1*A+...+A_n*A^n
所以這兩者之間有些微的差異。
量子力學中的observable都是比較特殊的Hermitain operator，
並且很多都是unbounded operator。f(A)的定義並不來自於把
A帶入函數f中，因為unbounded operator並不保證f(A)是有定義的
而是來自於spectral theory。這些自共軛的算子可以"對角化"，這
種對角化的形式是表示成希爾伯特空間中的積分形態，f(A)定義為
這個積分形態對於函數f的積分。跟有限維矩陣論不一樣。但是可視
為有限維矩陣論的推廣。
這類的學問又稱為functional calculus。
比較有意思的關聯性是算子代數學家引入C*algebra來研究量子場論。
甚至是A. Connes的非交換幾何學來研究量子赫爾效應，非交換幾何學
可以起源於A. Connes為了分類算子代數領域中的某幾類的von Neumann
algebras。他把這些非交換代數視為某個非交換空間上的連續函數所形
成的環。後來，許多代數幾何學家也進入了這個領域。非交換幾何學
就成為一門獨立的學問。
A. Connes是我的偶像，希望明年可以見到他~~以前最想學的領域是
非交換幾何學，但是，這東西實在是太難了XD當博士論文的題目大概
N年才會讀完，以後有機會再慢慢品味。
以下的我就不懂了XD感謝mgtsai大的補充。
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: 第二個例子，就以在資訊領域常使用的 CRC code 為例
: 計算 CRC 時所使用的多項式，其定義域為 Z2 (即 {0, 1})
: 以白話來說，就是利用布林代數多項式進行計算
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: 第三個例子，我就拿電機通訊領域常使用的 Reed-Solomon code 為例
: 它的組成就是以 Galois Field 為定義域的多項式
: 裡頭的 X 則是 Galois Field 的一個元素
: (通常方便起見，X 通常會表達成某一多項式，
: 所以 Reed-Solomon code 的組成，為：某群多項式所形成的體，
: 再以這個體組合出多項式，這是剛開始學習 Reed-Solomon code 時較常困擾之處)
: Reed-Solomon code 用於資料儲存或傳輸的 error correction
: 最常見的應用，就是幾乎每台電腦上都有的配備：光碟機
: 由於光碟片的表面容易磨損，所以在記錄資料時
: 會多燒一些額外的資訊，作為錯誤自動修復使用
: 當光碟片表面輕微刮損時，可以靠這些額外資訊，算出原來的資料
: 光碟片記錄資料所使用的編碼，就是 Reed-Solomon code
: 光碟資料儲存這樣的應用，應該夠大眾化了吧！！！
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: 當然，以非複數為定義域的多項式應用，實在太多了，族繁不及備載
: 有時，真的要多看看外頭的世界長得怎麼樣
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※ 編輯: herstein 來自: 88.77.154.212 (12/21 11:27)