[分析] 定義函數

[znmkhxrw (QQ)]

先闡述一下@@" 不知道怎麼總結問題  是從初微板來的
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(一)觀察：

f定義在0附近，若f(0)=0， lim  f(x)/x 是f'(0)的定義式
                         x→0

現在考慮兩個函數：a(x)=x,x€Real number

                  b(x)=x   , x=/=0

                      =100 , x=0

我想要求lim  a(x)/x與lim  b(x)/x
        x→0         x→0

對於前者，因為a(x)在0的微分是1，所以答案就是1

對於後者，b(x)在0不可微，所以不能這樣做，可是硬幹還是直接做出答案等於1

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(二)問題：

現在考慮[a,b]的連續函數f(x)，由FTC告訴我們

      x
F(x)=∫ f(t)dt €C^1(a,b) , €C[a,b]
      a

and F'(x) = f(x) on (a,b)

可是，我在Apostol看到，F(a)=0是定義來的，一個方便的理由是，lim  F(x)=0
                                                           x→a+

所以FTC告訴我們F(x)€C[a,b]因為定義了F(a)=0嗎??

所以我先不管F(a)是否定義，所以只說F€C(a,b]

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最後綜合(一)、(二)：

如果f(x)是定義在[-ε,ε]的連續函數

根據FTC，

      x
F(x)=∫ f(t)dt €C^1 on (-ε,0)聯集(0,ε) , €C on [-ε,0)聯集(0,ε]
      0

F'(x) = f(x) on (-ε,0)聯集(0,ε)

如果要求lim F(x)/x
        x→0

我們不能用F'(0) = f(0)去說此極限值就是f(0)，因為此極限值不是微分的定義式

甚至如果定義F(0) = 100，F在0就不可微了

可是，如果我們定義F(0)=0

根據FTC，

      x
F(x)=∫ f(t)dt €C^1 on (-ε,ε) , €C on [-ε,ε]
      0

and F'(x) = f(x) on (-ε,ε)

所以lim F(x)/x可由F'(0)=f(0)去得知答案
    x→0

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總之，有兩個問題：

1.從a積到a的值是算來還是定義來的??(我覺得可算耶，反正黎曼和都是0)

2.要算lim f(x)/x時，f在0那點可以不定義(根據極限定義，確實不用到f(0))
      x→0

  可是定義了那一點之後，如果f在那點可微，變的很好算了！

  問題是出在哪????

  定義了某個東西就很好算了???  怎麼有那麼爽的事??

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.81.55
推 APM99       :要定義那一點且那點f可微  有那麼容易就好了啦
→ bineapple   :在定義Riemann sum時沒限定interval不可是空集合
推 bineapple   :所以用算的也能得到a積到a為0
→ yhliu       :(一) a(x)/x 與 b(x)/x 當 x≠0 時都相等, 因此 x→0
→ yhliu       :     時兩極限相等.
→ yhliu       :(二) F(a) = 0 是定積分上的定義, 這個定義是因原先
→ yhliu       :    定義定積分時考慮的是 a<b. 而如果我們在考慮定
→ yhliu       :    積分定義時允許 a=b, 結果也會得 F(a)=0.
→ yhliu       :    若 f(x) 在包含 a 的一個開區間內是連續的,
→ yhliu       :    而 F(x) 定義在這倨昱區間, 而不一定限於 x>a,
→ yhliu       :    那麼, lim_{x→a} F(x)/(x-a) = f(a).
→ yhliu       :    這是微分定義+微積分基本定理的結果.
所以一樓說的就是，如果我真的定義了f(0)而使得他在那點可微的話

那根據我總結問題的第二點

真的就有那麼爽的事??

也就是說可以很快的算出lim f(x)/x
                      x→0

是嗎??

※ 編輯: znmkhxrw        來自: 140.114.34.252       (12/21 22:00)
→ yhliu       :在算 x->0 的函數極限時, 與 f(0) 的定義無關. 因此,
→ yhliu       :若補上 f(0) 的適當定義能很容易得到所要的極限, 有
→ yhliu       :何不可?