Re: [分析]級數型-瑕積分

[dogy007 (dogy007)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 這問題我試了幾個月了~~投降= =
: if f€C(a,b] , lim  f(x) = +/-∞
:                x→a+
:       b
: lim  ∫ f(t) dt exists , denoted by A
: x→a+ x
:                     b-a   n         b-a
: show that A = lim  ─── Σ f(a + ─── k )
:              n→∞   n    k=1        n
:             b
: <Note> 因為∫ f(t) dt (denoted by F(x))
:             x
:                     b-x   n         b-x
:             = lim  ─── Σ f(x + ─── k ) = lim  F_n(x)
:              n→∞   n    k=1        n          n→∞
:                           b-x   n         b-x
:        所以F=lim    lim  ─── Σ f(x + ─── k )
:              x→a+ n→∞   n    k=1        n
:        只要證lim可以交換即可
: 而幾個月前板友有給一個參考資料，看了之後只要證
: F_n(x) conv. F(x) uniformly on (a,b]即可
: 如此藉由那個資料，不僅確保lim  F_n(a)的存在，且就是等於A
:                          n→∞
: 可是超難...應該說我證不出來...Orz
反例：考慮 (0,1], for n ≧ 2
g(1/n) = n^2 , g(1/n - 1/n^4) = g(1/n + 1/n^4) = g(1) = 0
其他地方用直線連接，
顯然 g(x) 的瑕積分存在等於 Σ_{n≧2} (1/n^2)
令 h(x) =1/√x
f(x) = g(x)+h(x) 的瑕積分存在等於 1 + pi^2/6
顯然 lim f(x) = ∞ as x → 0+
但是因為 那個級數 ≧ (1/n)f(1/n) = n 會爆掉

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◆ From: 220.132.177.99
※ 編輯: dogy007         來自: 220.132.177.99       (12/23 09:02)
※ 編輯: dogy007         來自: 220.132.177.99       (12/23 09:07)
※ 編輯: dogy007         來自: 220.132.177.99       (12/23 09:12)
推 herstein    :nice....
※ 編輯: dogy007         來自: 220.132.177.99       (12/23 09:13)
→ dogy007     :反例的想法來自當我試圖用 εδ論證時，
→ dogy007     :需要讓 (1/n)f(1/n) 之類的項很小，但卻做不到
→ dogy007     :所以反例就跳出來了 :-)
推 herstein    :你是做分析的喔~~~XD
→ jacky7987   :好強喔 @@
→ jacky7987   :這種反例也太難找了
→ dogy007     :老頭子已經離開校園很久很久了，以前念過一些分析
推 keroro321   :推嘿