作者Eeon (Chaotic Good)
看板Math
標題Re: [代數] quotient ring
時間Sat Dec 24 01:22:52 2011
※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: 標題: [代數] quotient ring
: 時間: Fri Dec 23 09:53:19 2011
:
: 昨天上數論的時候 大概把代數都還給老師了
: 所以來請教大家
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: Let R=Z[sqrt(-26)]
:
: show that I=(3,1+sqrt(-26)) is a prime ideal.
:
: 老師提到的提示是用 R/I 是個integral domain下手.
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: 可是似乎會遇到兩次除法(就是把R也換成quotient ring的寫法)
:
: 然後我就掛了
:
: 懇請大家幫忙
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: ◆ From: 111.251.151.86
: 推 yusd24 :Z[sqrt(-26)]=Z[x]/(x^2+26) 12/23 16:10
: → keroro321 :打錯了吧...應該是 I=(3,1+i√26) 12/23 22:07
: ※ 編輯: jacky7987 來自: 1.161.240.197 (12/23 22:27)
: → jacky7987 :那接下來Z[x]/(x^2+26)/(3,1+sqrt(-26))要怎麼化簡呢 12/23 22:28
: → keroro321 :注意到 I={3n+(1+i√26)m | n,m:integers} 12/23 22:50
: → keroro321 :直接檢查 R/I 是 integral domain. 12/23 22:50
: → bineapple :這題直接用prime ideal的定義就做得出來了 12/23 23:12
: → jacky7987 :所以我直接用[(a+b√-26)+I][c+d√-26+I]=0 12/23 23:13
: → jacky7987 :是喔 QQ 老師還說不要直接從定義下手XD 12/23 23:13
: → bineapple :設(a+b√-26)(c+d√-26)在I裡面 直接導出其中一個項 12/23 23:14
: → bineapple :會落在I裡 就像你講的@@ 12/23 23:14
: → jacky7987 :OK 洗完澡試試看 12/23 23:15
: → jacky7987 :老師上課就說那個用不知道哪個同構定理可以化簡XD 12/23 23:15
: → jacky7987 :化簡到那個除環會同構於啥的樣子!? 12/23 23:16
直觀地觀察可以看到有下些的代表元變換的動作：
(a+b√-26)+I
-> √-26看不太順眼，又因為 1+√-26 \in I，
把a分一部份出來跟後面的 b√-26做伴，
故寫成(a-b)+(b+b√-26)+I = (a-b)+I
->嗯，現在看起來比較舒服了，代表元必可取成整數，
再因為 3 \in I，所以又可以再把 a-b拿來除以3得到餘數當代表元。
->現在代表元可取到必為 0,1,2，不難想像，除掉後，八成就是（同構到） Z_3了。
當然，這只能說是個簡易的觀察，不能說是什麼嚴格的證明，
所以我們要再把這件事用嚴謹的寫法弄好。
這種情況一個一般基礎的技術就是去造一個 R打到 Z_3 上的 ring epimorphism \phi，
使得 \phi的 kernel 等於 I，然後跟據第一同構定理，
R/ker phi is iso. to Im phi
|| ||
R/I Z_3 打包收工。
根據上方所提及的觀察，自然地可考慮下面這個 map：
R ----> Z_3
a+b√-26 |----> r+3Z ,r是a-b除以3的餘數。
接下來就只是routine的驗證本文中段所寫的那些事(epimorphism，算kernel)而已。
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◆ From: 182.235.189.13
推 jacky7987 :感謝 難怪那時候老師也是直接寫1+√-26的minimal 12/24 01:27
→ jacky7987 :poly 12/24 01:27
→ jacky7987 :原來中間消失了這麼多想法@@ 12/24 01:27
推 jacky7987 :所以想法就是把a+b√-26+I換成另一個表示a-b+I 12/24 01:31
→ jacky7987 :然後從a-b下手對吧:) 12/24 01:31
推 jacky7987 :代數真的好難啊QQ 12/24 01:34