→ jacky7987 :喔喔 感謝:) 12/24 10:47
※ 引述《Eeon (Chaotic Good)》之銘言：
: ※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: : 標題: [代數] quotient ring
: : 時間: Fri Dec 23 09:53:19 2011
: : Let R=Z[sqrt(-26)]
: : show that I=(3,1+sqrt(-26)) is a prime ideal.
: : --
: 直觀地觀察可以看到有下些的代表元變換的動作：
: (a+b√-26)+I
: -> √-26看不太順眼，又因為 1+√-26 \in I，
: 把a分一部份出來跟後面的 b√-26做伴，
: 故寫成(a-b)+(b+b√-26)+I = (a-b)+I
: ->嗯，現在看起來比較舒服了，代表元必可取成整數，
: 再因為 3 \in I，所以又可以再把 a-b拿來除以3得到餘數當代表元。
: ->現在代表元可取到必為 0,1,2，不難想像，除掉後，八成就是（同構到） Z_3了。
:
: 當然，這只能說是個簡易的觀察，不能說是什麼嚴格的證明，
: 所以我們要再把這件事用嚴謹的寫法弄好。
: 這種情況一個一般基礎的技術就是去造一個 R打到 Z_3 上的 ring epimorphism \phi，
: 使得 \phi的 kernel 等於 I，然後跟據第一同構定理，
: R/ker phi is iso. to Im phi
: || ||
: R/I Z_3 打包收工。
: 根據上方所提及的觀察，自然地可考慮下面這個 map：
: R ----> Z_3
: a+b√-26 |----> r+3Z ,r是a-b除以3的餘數。
: 接下來就只是routine的驗證本文中段所寫的那些事(epimorphism，算kernel)而已。
有板友提到利用 First homomorrphism Thm 的方法 , 已提供很好的觀察 .
在這給出一個直接的計算.
注意到 I 其實"在此"可以寫成 {3n+(1+i√26)m | n,m:integers} 這種形式
if (a+b√-26)(c+d√-26) \in I
=(ac-26bd)+(ad+bc)√-26 = (ac-26bd-ad-bc) + (ad+bc) (1+√-26)
(ac-26bd-ad-bc) = 0 mod(3)
(ac-26bd-ad-bc) = (ac+bd-ad-bc) = (a-b)(c-d) = 0 mod(3)
=>(a-b)=0 or (c-d)=0 mod(3)
Hence (a+b√-26) or (c+d√-26) \in I .
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