→ ricestone :所以說座標轉換跟變數變換是不一樣的 12/26 14:33
如果我的問題在哪本書有，可以跟我講一下嘛?? 謝謝~~
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在DoCarmo的幾何中，Ch2-3的proposition 1：change of parameters
我把整個prop大約寫出來好了：
Let p is a point of a regular surface S , and let X：U⊆R^2→S, Y：V⊆R^2→S
be two parametrizations of S, s.t. p∈X(U)∩Y(V)=W
Then the "change of coordinates", h=X^(-1)°Y：Y^(-1)(W)→Y^(-1)(W)
is a diffeomorphism.
之後它在證明這個prop之前，先寫道：
In other words, if x and y are given by
X(u,v) = (x(u,v) , y(u,v) , z(u,v)) , (u,v)∈U
Y(p,q) = (x(p,q) , y(p,q) , z(p,q)) , (p,q)∈V
then the change of coordinates h ,
given by u=u(p,q) , v=v(p,q) , (p,q)∈Y^(-1)(W)
has the property that the functions u and v have continuous partial derivatives
of all orders, and the map h can be inverted, yielding
p=p(u,v) , q=q(u,v) , (u,v)∈X^(-1)(W)
where the functions p and q have continuous partial derivatives.
∂(u,v) ∂(p,q)
And since ──── ──── = 1
∂(p,q) ∂(u,v)
this implies that the Jacobian determinants of both h and h^(-1) are nonzero.
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標題我打[微積]是因為從大一開始，老師就沒仔細定義過"座標變換"
之前在積分技巧裡(尤其是分部積分與重積分)，常常用"代數變換"
我想，代數變換就是座標變換吧??
想請問下列問題：
1.座標變換定義?? 僅限於R^n的子集←→R^n的子集??
2.座標變換需要well-defined, 1-1, onto??(大一老師有說，積分的變數變換不需要1-1耶)
3.座標變換需要diffeomorphsim??(所以此兩子集就要都是open set??)
4.如一開始令的h，h就是h(p,q) = (u(p,q) , v(p,q)) , (p,q)∈Y^(-1)(W)
and h^(-1)=h^(-1)(u,v) = (p(u,v) , q(u,v)) , (u,v)∈X^(-1)(W)
?????
5.文章最後標紅色的Jacobian那邊：
因為他是講"Since ......= 1"，這個等式成立於什麼條件??
就他文字這樣寫，感覺是因為那個等式成立所以證得differomorphism??
所以是座標變換的話，那個等式就會成立??
6.一開始那一大串寫完後，之後才寫：proof of prop 1
一開始那一大串是什麼??
就是我標綠色那邊，這一大串是他還沒證的還是因為是座標變換才成立??
抱歉...會這麼混亂感覺是因為不知道他的前因後果...請指教~
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