Re: [微積] 泰勒與馬克勞林級數有什麼關係阿

[alasa15 (alasa)]

※ 引述《sparta40 (該死的斯巴達)》之銘言：
: 感覺這兩個級數非常相似
: 所以想了解一下他們的關係
: 可不可以請大大稍微解惑，或是講講古@@
: PS：我實在搞不懂創造  這兩個級數 有什麼好處



好處可多了  給你一些例子

           1     1     1
Ex1. 求1-(---)+(---)-(---)+... 之值
           2     3     4

這個級數用Leibniz判別法可以判斷出是收斂的  但是要怎麼求值呢?

       1         1
考慮------- = ------ = 1 - x + x^2 - x^3 +...  (This is Taylor series)
     1 + x     1-(-x)


兩邊同時做定積分(from 0 to 1)

  1  dx      1
 ∫------ =∫ (1-x+x^2-x^3+...)dx
 0  1+x     0

           x=1       1     1     1
=>ln(1+x)|     = 1-(---)+(---)-(---)+...
           x=0       2     3     4


=>What we want is ln(1+1) = ln2





Ex2. e^(ix) = cos(x) + isin(x)

Why?
               x^2     x^3     x^4
e^x = 1 + x + ----- + ----- + ----- +...
                2!      3!     4!

                   x^2     ix^3     x^4
e^(ix) = 1 + ix - ----- - ----- +----- +...
                    2!      3!      4!

      x^2     x^4                x^3      x^5
= [1-(-----)+(-----)-...] + i[x-(-----)+(-----)-...]
       2!      4!                 3!      5!


= cos(x) + isin(x)




無窮級數是一個強大的數學工具

我們可以用它來處理以往一些用初等數學無法解決的問題





再來看一下sin(x^2)的展開

                   x^6       x^10
sin(x^2) = x^2 - (-----) + (------) -..
                    3!        5!

                                                          sin(x^2)
當你想要比較 x^2 和 sin(x^2) 哪個趨近於零的速度比較快(lim --------)
                                                      x->0  x^2

可能沒辦法直接看出來 但用泰勒級數展開 代進去一看就知道極限是一了





泰勒級數將函數分解成多項式的型態

而多項式的特色就是簡單 易操作(微分積分)

不僅如此 我們也對它們比較有感覺XD

捨棄一些精確度 換取操作上的便利性 有時候是值得的

(你可能會覺得展開時計算很繁瑣  不過這也算是數學能力的一部分阿 <(￣ ▽￣)y▂ξ)





註:偷用了Abel...等定理

雖然這樣推導邏輯上並不完美(Ex.這樣亂展開一通亂代數字亂交換順序結果會收斂嗎?)

但寫出來太長就不詳談了Orz 有興趣請參閱高微

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◆ From: 111.249.29.116
推 ntust661    :推~:D
推 sparta40    :有懂了一些@@ 之前修微基分的時候 沒聽懂 現在搞懂了
推 sparta40    :感覺這篇也可以M起來阿@@
推 Qmmmmnn     :^^GOOD!!
推 wachsend    :很好的解說, 數學是可以從不同角度看問題的工具
推 RPGamer     :備份至我的電腦 :)