→ pgcci7339 :謝謝^^ 12/26 21:33
推 Wunderking :神來一筆,拍案驚奇! 12/28 02:13
※ 引述《pgcci7339 (= =)》之銘言：
: α為正實數，(2+√α)^(1/3)+(2-√α)^(1/3)為一正整數，則α=？
: 我是令 a=(2+√α)^(1/3)，b=(2-√α)^(1/3)，可得
: a^3+b^3=4，ab=(4-α)^(1/3)，a+b=n，n為正整數
: 由 a^3+b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b) 可得
: 4= n^3-3abn
: 然後就做不下去了...
我試著算了一下找到兩個解,
不知道這樣對不對......
sol:
討論 b 的正負號,
(1)若 b < 0, ab<0
則由 n^3 - 3abn = 4 知 n = 1 , ab = -1,
ab=(4-α)^(1/3) -> α = 5
(2)若 b > 0, ab>0
由 ab=(4-α)^(1/3) 知 α<4, ab<4^(1/3),
再由 n^3 - 3abn = 4 以 由n=2開始代數字
n=2 , 8-6ab=4 ab = 2/3
n=3 , 27-9ab = 4 ab= 23/9, 不合,
知 n = 2, ab= 2/3, α = 4-(2/3)^3
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◆ From: 140.112.25.107