Re: [中學] 高中數學競賽一題

[volition (volition)]

※ 引述《pgcci7339 (= =)》之銘言：
: α為正實數，(2+√α)^(1/3)+(2-√α)^(1/3)為一正整數，則α=？
: 我是令 a=(2+√α)^(1/3)，b=(2-√α)^(1/3)，可得
: a^3+b^3=4，ab=(4-α)^(1/3)，a+b=n，n為正整數
: 由 a^3+b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b) 可得
: 4= n^3-3abn
: 然後就做不下去了...

由4 = n^3-3abn

       n^3-4
得ab = ───  (兩根之積)
        3n

加上a+b=n   (兩根之和)

                 n^3-4
x=a,b 為 x^2-nx+─── = 0 之兩根
                  3n

故判別式D>=0

        n^3-4
n^2-4*1*─── >=0           (其實就是在算(a+b)^2-4ab=(a-b)^2>=0
          3n

化簡得 n(n^3-16) <= 0

得   0<= n <=16^(1/3)

又n為整數,故n=1或2

另外ab=(2+√α)^(1/3) * (2-√α)^(1/3)=(4-α)^(1/3)

(ab)^3=4-α

                n^3-4
α=4-(ab)^3=4- (───)^3
                 3n

若n=1  α=5

若n=2  α=100/27

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◆ From: 61.64.69.53
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