※ 引述《ComeonLuLuLu (盧彥勳加油)》之銘言：
: 2 3x
: y''-4y' = 8x + 2e
: ^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^
: yh yp
: yp1 yp2
: y = yh + yp
: 這邊 yp 要分兩開算
: 然後再加起來
: yp = yp1 + yp2
: 2
: yp1的部分 面對 8x
: 是要用參數變更法? 那可以用未定係數法嗎?
: 如果是用未定係數法的話 要怎麼設?
由特徵方程式知 yh=A+Bexp(4x)
看來 原PO喜歡待定係數法 不喜歡逆運算子騎摩托車法
做一遍給你看好了
設yp=c1x^3+c2x^2+c3x+c4+c5exp(3x)
yp'=3c1x^2+2c2x+c3+c5exp(3x)
yp"=6c1x+2c2+c5exp(3x)
代回y"-4y'=8x^2+2exp(3x)
{6c1x+2c2+c5exp(3x)}-4{3c1x^2+2c2x+c3+c5exp(3x)}=8x^2+2exp(3x)
{-12c1x^2+(6c1-8c2)x+2c2-4c3}+(c5-4c5)exp(3x) =8x^2+2exp(3x)
比較係數得 c1=-2/3 , c2=-1/2, c3=-1/4, c5=-2/3
2 2
代回yp得-──x^3-0.5x^2-0.25x+c4-──exp(3x)
3 3
通解y=yh+yp
另解：逆運算子騎摩托車法
令D=d/dx
(D^2-4D)y=8x^2+2exp(3x)
1 1
yp= ──── 8x^2 + ────2exp(3x)
D(D-4) D(D-4)
-1/4 1/4 2
= (─── + ───)8x^2 + ───exp(3x)
D D-4 3(3-4)
-2 1 1 1 1 2
= ──x^3 - ──(── + ──D + ──D^2+.....)8x^2 - ──exp(3x)
3 4 4 16 64 3
-2 1 1 1 2
= ──x^3 - ──x^2-──x- ───-──exp(3x)為特解
3 2 4 16 3
綠色部分會與yh合併掉
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