推 kusoayan :太感謝你的指證了！ 我果然搞很混QQ 12/28 23:06
推 mqazz1 :請問為什麼AV=VB這邊 我看不太懂VB是怎麼來的.. 12/28 23:32
推 mqazz1 :哦 我懂了 只是要解的時候比較不好推出來.. 12/28 23:40
※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: ※ 引述《mqazz1 (無法顯示)》之銘言：
: : 1. Let A in R^(3*3) and {v1, v2, v3} be a linearly independent subset of R^3
: : If Av1 = 3v1 + 2v2 + v3, Av2 = v1 + 2v2 - v3, Av3 = v1 + v2 + v3
: : then det(A) = ?
設 3-by-3 matrix V = [v1 v2 v3]，則det(V)≠0
[3 1 1]
令 B = [2 2 1]
[1 -1 1]
由 Av1 = 3v1 + 2v2 + v3, Av2 = v1 + 2v2 - v3, Av3 = v1 + v2 + v3
可知 AV = VB => det(A)det(V) = det(V)det(B) => det(A) = det(B)
: v1, v2, v3 indep subset of R^3 => v1, v2, v3 是 R^3 的一組 basis
: denote V = {v1,v2,v3}
: 假設今天有一個向量 x, 對應於 V 的表示法為 [m n p]^T
: (即 x = m*v1 + n*v2 + p*v3 )
: => Ax = A(m*v1 + n*v2 + p*v3) = m*Av1 + n*Av2 + p*Av3
: = ......計算省略
: = (3m+n+p)v1 + (2m+2m+p)v2 + (m-n+p)v3
: [ m ] [ 3m+n+p ]
: => A[ n ] = [ 2m+2n+p ]
: [ p ] [ m-n+p ]
這一步錯了，你應該要得到
[m] [3 1 1][m]
AV[n] = V[2 2 1][n]
[p] [1 -1 1][p]
然後推出 AV = VB
你把row vector跟column vector搞混了
事實上這題是推不出
[ 3 1 1 ]
A = [ 2 2 1 ]
[ 1 -1 1 ]
你可以找個不是V = I的basis就知道A可以不是這個matrix，可是determinant是固定的
: [ 3 1 1 ]
: => A = [ 2 2 1 ]
: [ 1 -1 1 ]
: ----
: 另一種解法
: A[ v1 v2 v3 ] = [(3v1+2v2+v3) (v1+2v2-v3) (v1+v2+v3) ]
: denote by AV = M
: 因為 M 的第一個 column 可視為 A 的 columns 的 combination, 且係數由 v1 決定
: 同理第二第三的 column 也是如此
一樣row vector跟column vector搞混，所以結論不對
: 所以直接寫下
: [ 3 1 1 ]
: A = [ 2 2 1 ]
: [ 1 -1 1 ]
: : answer: 4
: : 2. [ 1 2 3 4 5]
: : [ 6 7 8 9 10]
: : Let A = [11 12 13 14 15], then det(A-I) = ?
: : [16 17 18 19 20]
: : [21 22 23 24 25]
: : answer: 314
: : 請問這兩題該怎麼解呢? 有人會其中一題的嗎?
: : 第2題用暴力法硬算很花時間..
: : 謝謝
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