Re: [線代] det的計算(台大資工)

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《mqazz1 (無法顯示)》之銘言：
: 1. Let A in R^(3*3) and {v1, v2, v3} be a linearly independent subset of R^3
: If Av1 = 3v1 + 2v2 + v3,  Av2 = v1 + 2v2 - v3, Av3 = v1 + v2 + v3
: then det(A) = ?
: answer: 4
: 2.      [ 1  2  3  4  5]
:         [ 6  7  8  9 10]
: Let A = [11 12 13 14 15], then det(A-I) = ?
:         [16 17 18 19 20]
:         [21 22 23 24 25]
: answer: 314


                  ┌ 1  0 ┐
                  │ 1  5 │┌ 1 2 3 4 5 ┐
    Note that A = │ 1 10 ││           │ = UV
                  │ 1 15 │└ 1 1 1 1 1 ┘
                  └ 1 20 ┘

    hence  det(A - I_5) = det(UV - I_5)
                        = (-1)*det(VU - I_2)

                               │ (15-1)  200  │
                        = (-1)*│              │
                               │    5   (50-1)│

                        = -(14*49 - 1000)

                        =  314



: 請問這兩題該怎麼解呢? 有人會其中一題的嗎?
: 第2題用暴力法硬算很花時間..
: 謝謝

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.139
推 mqazz1      :好強..可以請問為什麼det(UV-I_5)=(-1)*det(VU-I_2)?
推 mp8113f     :看到這解法只能推了 ...我也想問一樓的疑問 !
推 mqazz1      :解的比補習班老師的過程還快...
推 craig100    :好神... 同一樓 我也看不懂@@
推 TWN2        :因為det(I-AB) = det(I-BA)對任意m*n矩陣A,n*m矩陣B
推 TWN2        :成立 m=n時的證明:http://0rz.tw/k6Q7R 54頁
→ TWN2        :m!=n時 假設m>n 考慮A'=[A|O],B'=[B^T|O]^T都是m*m
→ TWN2        :矩陣 對A',B'作det(I-A'B') = det(I-B'A')就可以了
    感謝 TWN 大幫忙補充

推 mp8113f     :det(I-AB) = det(I-BA)對任意m*n矩陣A,n*m矩陣B成立
→ mp8113f     :m=n 也成立嗎 @@?  第一次看到這個推導 好方便 ...
推 Gaitz       :好厲害耶XD 能看出 A = UV
    看到該矩陣的型態

    我當下第一時間的想法是:

        ┌ 1 2 3 4 5 ┐   ┌  0  0  0  0  0 ┐
        │ 1 2 3 4 5 │   │  5  5  5  5  5 │
    A = │ 1 2 3 4 5 │ + │ 10 10 10 10 10 │
        │ 1 2 3 4 5 │   │ 15 15 15 15 15 │
        └ 1 2 3 4 5 ┘   └ 20 20 20 20 20 ┘

                   T                            T
      = [1 1 1 1 1] [1 2 3 4 5] + [0 5 10 15 20] [1 1 1 1 1]

                           T
      = ┌ 1  1  1  1  1 ┐ ┌ 1 2 3 4 5 ┐
        └ 0  5 10 15 20 ┘ └ 1 1 1 1 1 ┘

    所以並非是  A = UV 一步到位

    給大家參考一下～

※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.211.139      (12/29 12:11)
推 G41271      :推~~~ 神
推 bahamut5461 :神人口卡修 !!!