Re: [微積] 證明自然數e大於2

[elfkiller (沒有暱稱)]

※ 引述《gotodmcyo (小情)》之銘言：
: 碰到的題目沒有解答所以想請教板上先進看有沒有證錯
: 題目:證自然數e大於2
: 我想法是假設e小於2( e<2 )，然後證到矛盾
: 首先設F(x)=ln(x)   x屬於[e,2]
:  顯然 F(x)在[e,2]連續，F'(x)在(e,2)存在
: 利用均值定理 取一點 c , e< c< 2
: F(e) - F(2) = F'(c)(e-2)
: 左式F(e) - F(2)=ln(e) - ln(2)= 1 - ln(2) > 0  -----(*)
: F'(c)=1/c > 0
: 故(e-2) > 0 與[e,2]矛盾
: 恩.....整個步驟在(*)那一步是我用猜的，因為我不知道ln2等於多少
: 而求ln2的值似乎又會用到題目的條件所以不確定能不能這樣證＠＠
: 感恩感恩！～
不行
因為要計算ln2的數值要先知道e
而這個題目是假設你不知道e是多少
所以你一定要滿足這個前提

可以用二項式定理証明
http://zh.wikipedia.org/wiki/E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0)
參見條目二項式定理的部分
可以看出n為自然數時大於2恆成立
現在考慮n為連續的情況(只考慮正數)
設整數部分為a 小數部分為b
可以把(1+1/n)^n 拆開成 (1+1/n)^a(1+1/n)^b
(1+1/n)^a > 2
而 (1+1/n)^b 可以輕易證明一定大於等於1(blog(1+1/n) >= 0 = log(1)...)
so, for all n > 0, (1+1/n)^n > 2*1 = 2

還有很多種證法,算幾也可以做到,這裡提出一種給你參考...



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◆ From: 42.72.15.217
→ suhorng     :e不一定都是用(1+1/n)^n定義的 也有用面積定義的
→ suhorng     :比如一種方法是 定ln(x) = 1/x在[1,x]間曲線下面積,
→ suhorng     :若x>0;或 1/x在[x,1]下的面積加負號,若x<0
→ suhorng     :然後顯示ln(x)具有對數的性質 並定其反函數為exp(x)
→ suhorng     :最後定義e=exp(1)因為可以推得exp(x)=[exp(1)]^x,對
→ suhorng     :所有x \in Q