※ 引述《gotodmcyo (小情)》之銘言：
: 碰到的題目沒有解答所以想請教板上先進看有沒有證錯
: 題目:證自然數e大於2
: 我想法是假設e小於2( e<2 )，然後證到矛盾
: 首先設F(x)=ln(x) x屬於[e,2]
: 顯然 F(x)在[e,2]連續，F'(x)在(e,2)存在
: 利用均值定理 取一點 c , e< c< 2
: F(e) - F(2) = F'(c)(e-2)
: 左式F(e) - F(2)=ln(e) - ln(2)= 1 - ln(2) > 0 -----(*)
: F'(c)=1/c > 0
: 故(e-2) > 0 與[e,2]矛盾
: 恩.....整個步驟在(*)那一步是我用猜的，因為我不知道ln2等於多少
: 而求ln2的值似乎又會用到題目的條件所以不確定能不能這樣證＠＠
: 感恩感恩！～
你可以考慮對 e^x 使用 mean value theorem,.
e - e^0 = e^y for some y in [0,1)
thus, e=1+e^y > 2.
也可以用積分來做:
x
∫dt/t = ln(x)
1
2
consider ∫dt/t < 1/2 + 1/2*(1/2)= 3/4 (Riemann sum)
1
Thus, ln(2)< 1 => 2< e.
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※ 編輯: Sfly 來自: 76.94.119.209 (12/29 10:11)