※ 引述《adamchi (adamchi)》之銘言：
: 1.設一數列<An>其前n項的和 Sn = n^2+n+3
: 求 (1/A1*A2) +(1/A2*A3)+......+(1/A10*A11) = _________
: 答: 67/440
: 2. 有一等差數列, 其前m項和比前n項和為 m^2:n^2
則第m項比第n項為________
: 答: (2m-1):(2n-1):
: 3.數列<2,1,2^2,2,1,2^3,2^2,2,1,..........>則
: 第一項到第405項之和為_________
: 答 2^29 - 31
1.
知道前n項的和,運用"總和之間的差為數列"之概念
Sn = n^2+n+3, => (S,n-1) = (n-1)^2+(n-1)+3
An = Sn-(S,n-1) = 2n
但注意 => A1 = S1 = 5 (為什麼不是2, 因為你定義了Sn的常數項加了3)
A2 = 4
A3 = 6
....
原式這樣寫較對 1/(A1*A2) +1/(A2*A3)+......+1/(A10*A11)
=1/(5*4) +1/(4*6)+......+1/(20*22)
= 1/(5*4) + {1/2*(1/4-1/6) + ... +1/2*(1/20-1/22)} ←重要的技巧
= 1/(5*4) + 1/2*(1/4-1/6+ ... + 1/20 -1/22) ←1/2提出來,裡面可互相消
= 1/20 + 9/88
= 67 /440
2.
有一等差數列, 其前m項和比前n項和為 m^2:n^2
一樣利用總和的差為數列。 前m項和 比 前(m-1)項和 為
m^2 : (m-1)^2 令左邊乘r => Sm = r*m^2
右邊乘r => S,m-1 = r*(m-1)^2
第m項為Am = Sm-(S,m-1)= r(2m-1),
同樣第n項為An = s(2n-1), (用的比例為s)
其實s,r都為一樣，因為An及Am為同一數列, 首項及公差要一樣
所以, 則第m項 比 第n項為 (2m-1):(2n-1)
3.
第三題比較麻煩，會用到一點遞迴的概念
數列<2,1,2^2,2,1,2^3,2^2,2,1,..........>
你有沒有發現都跟2的次方有關, 不要考慮數列而要用總和的方法去解
總和的關係:
S2 = 2^2-1
S5 = 2^3 -1 + S2
S9 = 2^4 -1 + S5
...
(S,k^2/2+k/2-1) = 2^k -1 +(S, (k-1)^2/2+(k-1)/2 -1)
...
S405 = 2^n -1 +(S,....)
用405=k^2/2 +k/2 -1, 解得 k = 28 ,-29不合
所以知道n=28, S405的前一項為S377,其實這不是重點
所有的 等式相加 S405外的總和項都會消去
得 =>S405 = 2^2 +2^3 +2^4 +...+2^28 -1-1-1...-1
= (1+2^1 + 2^2 +2^3 +2^4 +...+2^28) -1-2^1- 27,(有27個-1)
= (2^29 -1) -30
= 2^29-31
也許第3題有更漂亮的解法也說不定,提供參考！
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