※ 引述《samken (白熊)》之銘言：
: 請問
: 假使A,B兩個為normal matrix ,
: then singular values of AB is equal to singular values BA
: 請高手協助
: 感激不盡
首先 Normal matrix 可以用 Unitary matrix 對角化
H
Ａ = ＵΛＵ
Λ為 diagonal matrix, 對角線為 eigenvalue (但未必 real)
可以再進一步寫成
[t1 ] [|t1| ] [exp(j∠t1) ]
Λ = [ .. ] = [ .. ] [ .. ] = ΣΘ
[ tn] [ |tn|] [ exp(j∠tn)]
H H H
所以Ａ = ＵΛＵ = ＵΣΘＵ = ＵΣＶ 就是Ａ的SVD
換言之Ａ的 singular value 就是其 eigenvalue 的絕對值
所以要證ＡＢ的 singular value = ＢＡ的 singular value
就等於是證ＡＢ的 eigenvalue = ＢＡ的 eigenvalue
假設λ是ＡＢ的 eigenvalue, 則 ＡＢｖ = λｖ
ＢＡ(Ｂｖ) = Ｂ(ＡＢｖ) = Ｂ(λｖ) = λ(Ｂｖ)
所以λ也是ＢＡ的 eigenvalue, 反之亦然.
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※ 編輯: robertshih 來自: 140.112.30.97 (01/06 18:19)