[其他] 負二項級數的証明

[peardog ( ^ _< )]

我GOOGLE了好久都沒有

請問有一個公式

叫做負二項級數


                  ∞   x-1       
h(s) =(1-s)^-r =  Σ （r-1）s^x-r
                  x=r            

公式就是長這樣

請問要如何證明呢!?






我知道有一個方法是用負二項分配證明

就是整個負二項分配的全部機率種總和為一，等式如下

∞　x-1
Σ（r-1）p^r (1-p)^x-r  = 1
x=r


在令1-p=s  所以p=1-s

得     ∞　x-1
       Σ（r-1）(1-s)^r (s)^x-r  = 1
       x=r

在左右兩邊同乘(1-s)^-r

就得到會得到那個公式





但是這又產生了一個問題，要如何證明負二項分配的全部機率總和為一

如果前題知道此公式，就可以輕鬆證明了


∞　x-1
Σ（r-1）p^r (1-p)^x-r
x=r


=         ( 1-p用s代入 ； p用1-s代入    )

∞　x-1
Σ（r-1）(1-s)^r (s)^x-r  =  (1-s)^r‧(1-s)^-r = 1
x=r





所以證明負二項分配全部機率總合為一需要用到負二項級數公式

但是證明負二項級數公式又要用到負二項分配總和為一來證明

真是吊詭= =






















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