Re: [高微] 連續函數

[peanutrice (花生米)]

※ 引述《kgbtdaguo (daguo)》之銘言：
: 原題目
: f:[a,b]->R 連續
: Assume that f(a)f(b)<0
: A={x屬於[a,b]|f(x)<0}
: 其中c=supA
: 證f(c)=0
: 我第一個想法是勘根定理來破
: 但卡在
: c=sup A 這邊
: 從幾何來想自我感覺c會等於b  ="=
: 如果著手去證..
: 假設f(c)不等於0來下手?
: 不好意思
: 希望高手幫解 謝謝

這題目有錯吧???

如果是y=-x這條線，a=-1,b=1

則A=(0,1]

所以c=supA=1

而f(c)=f(1)=-1又不等於0

這題目應該要再加上c=/=b才對

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因為f(a)f(b)異號，所以A非空

c=supA 代表存在一串x_n€A 收斂到 c

根據f的連續性，f(c) = f(lim x_n) = lim f(x_n) <= 0

如果f(c) < 0 , 因為c=/=b，所以再度根據f的連續性，必能在(c,b]間找到小於0的點

與c=supA矛盾

所以f(c)只能等於0


如果沒有c=/=b，就沒有這個結果

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◆ From: 1.169.129.196
推 chy1010     :不失一般性假設 f 遞增就會有 c=sup A 了
推 wohtp       :其實只需要 f(b) >= 0 就可以了
→ wohtp       :重點是 b 不能在 A 裡面
→ wohtp       :若 f(b) < 0 則 c = sup A = b 且 f(c) = f(b) != 0
→ wohtp       :這是唯一可能的例外。
推 jacky7987   :所以要加上monotone吧?
推 wohtp       :不需要啊，甚至函數與x軸相交很多次都沒關係
→ wohtp       :只要端點不在A裡面就好