[幾何] 一題幾合關於immersion和embedding

[bineapple (Bineapple)]

Let S^2={(x,y,z) in R^3:x^2+y^2+z^2=1},and define a map f:S^2→R^6

by f(x,y,z)=(x^4,y^4,z^4,xy,yz,zx).

Is f an immersion?

Is f an embedding?

我最近才開始看幾何而已

對於immersion還不是很清楚

不過應該很明顯不是embedding了 因為f不是one-to-one

如果要確認f是不是immersion 照定義是要看他的differential是不是one-to-one

想請問這裡f的differential要怎麼算呢?

是不是需要看f的jacobian matrix呢?

謝謝!!

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◆ From: 203.179.92.107
※ 編輯: bineapple       來自: 203.179.92.107       (01/16 22:33)
推 jacky7987   :就看她的jacobian是不是有兩條獨立的向量吧(如果我
→ jacky7987   :自己念書沒念錯的話XD
推 herstein    :其實你也可以取局部座標後，去算映射的微分
→ herstein    :也可以直接算f的微分，看線性變換得rank
→ bineapple   :請問直接算微分後的rank 有需要代值進去嗎? 還是用多
→ bineapple   :項式的獨立就夠了呢?
→ bineapple   :如果要代值的話 微分之後代(0,0,0)進去 rank就變成0
→ bineapple   :了 這樣是不是代表f不是一個immersion呢?
→ bineapple   :啊 (0,0,0))不在S^2裡 耍笨了
→ Vulpix      :(0,0,0)不在S^2上面喔。只能代S^2上的點。
→ bineapple   :應該是要算constant rank吧 明白了
→ Vulpix      :話說f應該是打進R^6
嗯對 已修正 THX
※ 編輯: bineapple       來自: 203.179.92.107       (01/17 17:38)