推 bajifox :ok了多謝^^ 01/19 20:14
推 ma4wanderer :推 12/16 04:43
※ 引述《bajifox (嘖)》之銘言：
: 想要證明 f(x)=x^4 + 3x + 3 is irreducible in Q[α], α=2^(1/3)
: f(x)不能分成degree 1的乘degree 3的polynomial我會做
: 但是要證明不能分成degree 2的乘degree 2的polynomial就不知道該怎麼做了
: 有試過令(x^2 + px + q)(x^2 + mx + n )=x^4 + 3x + 3
: 比較係數後硬爆
: 但是因為p q m n都是 a+bα+cα^2的form
: 光是要做qn=3 => q和n一個是3一個是1 這種很基本的都不太好做
: 所以想請問有沒有比較好的方法來處理
: 謝謝
利用 Eisenstein 判別法，可知 f(x) is irreducible over Q。
令 β 為 f(x) 之一複數根，
證明：[Q[α,β]:Q[α]]＝4。
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令 K＝Q[α,β], E＝Q[α]
=> [K:E]≦4 且 [K:Q]＝[K:E][E:Q]≦12.
此外，3跟4皆整除[K:Q] 且 gcd(3,4)＝1推得12≦[K:Q].
剩下的應該會做了!!!
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