→ tiwsjia :答案是 f(1)，觀察一下 x^n 的圖形。以及 01/19 14:09
→ tiwsjia :\int_{0}^{1} (n+1)x^n dx = 1 01/19 14:10
→ tiwsjia :拿原式跟 f(1) 去減。給定 e > 0，在 x = 1 那一點 01/19 14:10
→ tiwsjia :估計一下。 01/19 14:10
謝謝 我做看看
p
1.Given 0<p<1, [(n+1)∫x^n f(x) dx ] -> 0 (n->∞) ---------(A)
0
2.Consider x belongs to (p,1)
1
| (n+1)∫x^n f(x) dx - f(1) | --------(B)
p
choose p s.t. x belongs to (p,1) implies_
0.5f(1)<f(x)<1.5f(1)
1 1
=>(n+1)∫x^n 0.5f(1) dx < (n+1)∫x^n f(x) dx
p p
1
< (n+1)∫x^n 1.5f(1) , write Ln < Mn < Rn
p
=> Ln-f(1) < (B) < Rn-f(1)
.
.
.
1
=> lim Ln-f(1) = 0.5f(1) * ∫d(x^n+1) = 0.5f(1) * [1-p^(n+1)] →0 (p->1)
n->∞ p
1
lim Rn = 1.5f(1) * ∫d(x^n+1) = 1.5f(1) * [1-p^(n+1)] →0 (p->1)
n->∞ p
1
3.Therefore, | (n+1)∫x^n f(x) dx - f(1) | ≦ (A) + (B)
0
1
i.e. lim (n+1)∫x^n f(x) dx = f(1)
n->∞ 0
※ 編輯: cxcxvv 來自: 114.24.172.145 (01/19 14:48)
推 recorriendo :從極限定義做 先猜一個答案(當然樓上已經講了) 然後 01/19 14:43
→ recorriendo :檢查ε-δ條件 01/19 14:43
※ 編輯: cxcxvv 來自: 114.24.172.145 (01/19 15:02)
※ 編輯: cxcxvv 來自: 114.24.172.145 (01/19 15:05)
→ dogy007 :你的論證有問題，計算 lim Rn 時，p 是否固定？ 01/19 17:28
→ dogy007 :如果是，那 lim Rn 不會是 0 01/19 17:29
→ dogy007 :應該是 given ε>0, choose δ > 0 使得 01/19 17:35
→ dogy007 :|f(x)-f(1)| < ε/2, for x in [1-δ, 1] 01/19 17:35
→ dogy007 :再取 N, 使得 n > N 時, (1-δ)^(n+1) < ε/(2M) 01/19 17:36
→ dogy007 :這裡 M = MAX f(x) on [0,1] 01/19 17:37
→ cxcxvv :謝謝 其實我沒寫完 做一半跑出去XD 01/19 20:51