Re: [微積] 連續函數的積分與極限一題

[CFE220 (JOHN VON HERBERT)]

※ 引述《cxcxvv (delta)》之銘言：
: Suppose f is continuous on [0,1]
: Define
:             1
:  Xn = (n+1)∫x^n f(x) dx
:            0
: Find lim Xn
:   n->infinity
: 原本以為用積分中值定理就做出來了
: 可是那個c belongs to (0,1)會depend on n
: 所以其實不能那樣做
: 那這一題要怎麼解呢?


Another way:
                                                  0, x in [0,1)
Let A_n(x) = x^(n+1). Then  lim A_n(x) = A(x) = {
                           n→∞                  1, x = 1

          1                1
And (n+1)∫ x^n f(x) dx = ∫f(x) d(x^(n+1))
          0                0

                           1
                        = ∫f(x) d(A_n(x))
                           0

             1                  1
Hence, lim  ∫f(x) d(A_n(x)) = ∫f(x) d(A(x)) = f(1)
       n→∞ 0                  0
                                                       Q.E.D.


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◆ From: 218.170.114.141
→ CFE220      :本文"x→∞"應改為"n→∞",如何編輯文章啊...@@
→ znmkhxrw    :大E
→ CFE220      :意思是按"E"即可編輯嗎?...還是無法編輯耶...
推 znmkhxrw    :大寫的E，輸入法要是英文狀態~
→ znmkhxrw    :●18068   1 1/19 CFE220     在這畫面按大E
→ CFE220      :我試了好多遍都沒成功耶...
→ CFE220      :我懂了!!!非常感激您的說明!!!
→ znmkhxrw    :@@"
※ 編輯: CFE220          來自: 218.170.114.141      (01/19 18:55)
→ znmkhxrw    :喔喔~成功了XD
→ CFE220      :哈哈~多虧Z大!...不過推文都與數學無關:p
推 cxcxvv      :請問最後一行為什麼可以那樣做呢?
推 peicachu    :連續
推 herstein    :沒那麼顯然....
→ dogy007     :函數的連續性恐怕不能保證這個極限和積分的交換
→ dogy007     :以 Lebesgue 積分的觀點，某種形式的 dominated 定理
→ dogy007     :或許用的上
→ Sfly        :這裡可以交換. uniformly converges
→ dogy007     :A_n 連續，但 A 不連續，應該非 uniform
→ keroro321   :以L積分來看,可以用 Convergence THM of Vitali .
→ keroro321   :但有點多此一舉 hehe
→ keroro321   :抱歉 看錯 不行用...XD
→ dogy007     :dA_n 可以看成一連串的 measure, 或者機率上的分布
推 dogy007     :如果用這樣的看法，那這個結果是顯然的
→ dogy007     :可以參考 Billingsley , Probability and measure
→ dogy007     :page 344, theorem 25.8