Re: [微積] 連續函數的積分與極限一題

[herstein (翔爸)]

※ 引述《suhorng ( )》之銘言：
: ※ 引述《cxcxvv (delta)》之銘言：
: : Suppose f is continuous on [0,1]
: : Define
: :             1
: :  Xn = (n+1)∫x^n f(x) dx
: :            0
: : Find lim Xn
: :   n->infinity
: : 原本以為用積分中值定理就做出來了
: : 可是那個c belongs to (0,1)會depend on n
: : 所以其實不能那樣做
: : 那這一題要怎麼解呢?
: 不知道可不可以這樣寫 ?
: 設 |f(x)|≦K for x∈[0,1]
: 及 f(x) 在 1-ε≦x≦1 的最小最大值分別為 m, M
:                       1
: 首先, |x_n - x_m| = |∫[(n+1)x^n - (m+1)x^m] f(x) dx|
:                       0
:                        1
:                  ≦ K ∫|(n+1)x^n - (m+1)x^m| dx
:                        0
: 可以被選得要多小就有多小, 所以  lim x_n 存在
:                                n→∞

這裡的被選得多小要有多小一點也不顯然，必須驗證。(我很懷疑這好證)



: 接著, 寫
:                       1-ε                 1
: g(ε) = lim x_n = lim ∫ (n+1)x^n f(x)dx + ∫(n+1)x^n f(x)dx
:        n→∞     n→∞ 0                   1-ε
:     1-ε
: 而 | ∫(n+1)x^n f(x)dx |≦ K(1-ε)^{n+1} → 0 當 n→∞
:       0
:    1                1                      1
: m ∫(n+1)x^n dx ≦ ∫(n+1)x^n f(x)dx ≦ M ∫(n+1)x^n dx
:  1-ε             1-ε                   1-ε
:               1
: 當 n→∞ 時, ∫(n+1)x^n dx = 1 - (1-ε)^{n+1} → 1
:              1-ε
: 所以得到 m≦g(ε)≦M. 當ε→1 時 g(ε)→f(1)

這裡的ㄧ個錯誤是為甚麼"當ε→1 時 g(ε)→f(1)"?
你用到了你要證明的東西。


: 但是因為 lim x_n 收斂, 所以 g(ε) 只是常數, 也就是 g(ε) = f(1)

你的函數f是連續函數，當極限存在時，當然g(ε)是一個定值，
然而你的方法並沒有提供這個定值就是f(1)，你是用陳述的，但那
就是你要證明的。


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◆ From: 94.220.246.150
→ suhorng     :喔對!...收斂那裡做法錯了...   謝謝你!
→ suhorng     :最後g(ε)→f(1)原本是想說ε→1時m,M→f(1)...
→ dogy007     :後面那個是致命的，前面那個不難證
→ dogy007     :直接考慮 (n+1)x^(n+1)-(m+1)x^(m+1) 的正負後直接積
推 suhorng     :原來我打錯了..我是想要說ε→0 時orz