※ 引述《fix927 (古惑)》之銘言：
: 我跟我同學最近在練習題目
: 發現有一題我們倆無法達成共識
: 題目是這樣的
: 2+h
: Compute lim (1/h)∫(√1+x^2) dx
: h→0 2
: ↑
: 蠢蠢如我這邊應該是2
:
: 因為這題我們兩個都不太會
: 我是想說因為上下都趨近於零
: 可以用L'hospital's rule
: 但我同學說應該要積分出來確定趨近於零才可以用
: 但是積分的話令x=secU
: √1+x^2就會變成tanU
: 積分就會變成 後面要怎麼讓x帶回U裡面就變得很奇怪
: 我想應該是我的想法錯誤了
: 請版上大大指教這題該怎麼算
: 感謝!
lim (1/h)∫(√1+x^2) dx x=2,2+h
h→0
0
= ─── 無法求解
0
利用L'hospital's rule
2+h √5
lim (1/h)∫ (√1+x^2) dx = lim ─── =√5
h→0 2 h→0 1
說明：
將h視為變數
則由Leibniz微分法則(PTT不好排版 請參閱微積分課本)
d 2+h 2+h d
─ ∫ (√1+x^2) dx = ∫ ── (√1+x^2) dx +sqrt[1+(2+h)^2]+0
dh 2 2 dh
=sqrt[1+(2+h)^2]
再由lim 知, 上式之極限值=sqrt(5)
h→0
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