→ recorriendo :感謝 原來要這樣弄 01/23 12:00
※ 引述《recorriendo (孟新)》之銘言:
: 請教高手以下題目: (好複雜@@)
: 2 ∞ 2p 2
: x 是一數列 定義 ∥x∥_p = Σ n | x_n |
: n = 1
: (k)
: 假設在空間 { x : ∥x∥_p < ∞} 內一序列 x
: (k)
: 對於所有 k 滿足 ∥ x ∥_q < 1 , q > p fixed
: (k)
: 證明:存在一個 x 的收歛子列 (在∥.∥_p 中收斂)
要寫清楚需要打很多字和符號,簡單寫一下
given ε > 0, choose N1, such that 1/N^(2q-2p) < ε/4
then for all k, when s > N, Σ_{i=s to ∞} n^(2p)|x^(k)_i|^2 < ε/4,
now we may choose x_(k_j) subsequence of x_k such that
x^(k_j)_i converge for i = 1,2,..., N
moreover, we may choose N > N1 such that for m, n > N
|x^(k_m)_i - x^(k_n)_i|^2 < 1/(i^2p 2^i)
now it is not diffcult to show ∥x^(k_m)_i - x^(k_n)_i∥_p ^2 < ε
so x_(k_j) is a converge subsequence
基本上想法就是利用 ∥x^(k)∥_q < 1 這件事可以得到
計算 ∥.∥_p norm 求和公式中,後面的項都會很小,這是 uniformly for all k
至於前面的項,因為只有有限項,所以處理上就像有限維空間上的情形容易處理
對於因為無限維的空間,我們沒有 Bolzano–Weierstrass 定理
數列的收斂性往往是個問題,一般我們常會加上如 totally bounded 的條件
或者在 Lebesgue 積分的情形下,我們加上 uniformly integrable
以此看這個問題,那個求和其實就有 uniformly integrable 的意味在
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.137.145.225
※ 編輯: dogy007 來自: 220.137.145.225 (01/23 09:48)
※ 編輯: dogy007 來自: 220.137.145.225 (01/23 10:33)