[分析] 關於函數極限的ㄧ個小定理

[yasfun (耶死放)]

有個定理是這樣的~

f:A -> T

假設p是accumulation point of A 且 b屬於T

(a)lim x→p f(x) = b

if and only if

(b)lim n→∞ f(Xn) = b   for every sequence {Xn} of points in A-{p} which converges to p


我的問題是

(b) implies (a)

所以如果(a)不成立那(b)就不成立

所以如果lim x→p f(x) ≠ b 那 請問是(1)      存在sequence {Xn} of points in A-{p} which converges to p 使得lim n→∞ f(Xn) ≠ b

                                還是(2)for every sequence {Xn} of points in A-{p} which converges to p 使得lim n→∞ f(Xn) ≠ b

按照我看的書上證明應該是(1)不過我覺得(2)好像也滿合理的XD

煩請各位高手幫我解答> <

感謝~^^

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◆ From: 140.112.217.1
→ yasfun      :PS如果(2)是錯的話有反例嗎XD
推 znmkhxrw    :是(1)，如果(2)成立當然也推得(1)
→ yasfun      :抱歉我沒說清楚> <問題是(a)有沒有辦法推得(2)
→ yasfun      :阿我腦殘= =(a)不成立有沒有辦法推得(2)
→ Vulpix      :不能，因為搞不好可以找到一個{Xn}使lim f(Xn) = b
推 znmkhxrw    :f(x) = sin(1/x) ，lim_x→0 f(x) =/= 0
→ znmkhxrw    :but x_n=1/(n*pi) satisfies the condition and
→ znmkhxrw    :f(x_n) → 0 as n→inf
→ yasfun      :哇賽!!!!感激不盡T^T...體會到三角函數的奧妙~~~
推 znmkhxrw    :應該說是極限的奧妙...
→ yasfun      :都可以拉總之謝謝你XD
→ recorriendo :其實考慮雙變數函數例子就很多啦 一般微積分課本裡就
→ recorriendo :一堆例子了
→ yhliu       :當然不可能是 (2). 簡單的單實變數實數值函數就知道
→ yhliu       :了. 即使左右單邊極限都存在, 雙邊極限仍可不存在.
→ yhliu       :這表示只要 x_n 取同一邊, f(x_n) 就會有極限.
→ yhliu       :哦...其實(1)也不大對! 因為(1)的描述至少在表面上看
→ yhliu       :來似乎函數極限是存在的. 然而, 它可能是不存在的.
→ yasfun      :(1)沒有提到函數極限存在吧!?我看不懂y大最後兩行T^T