Re: [線代] 自乘不變矩陣的問題

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《penolove (醜獸的(女)朋友)》之銘言：
: 小弟(妹)寫題目遇到一提這個

修改只是為了性轉嗎……

: A+B+C=I
: A^2=A B^2=B
: A,B,C對稱
: C非負
: 試證C^2=C
: 到底怎麼證呢,自乘不變有甚麼性質嗎
: 感恩

首先，A,B,C對稱，所以可以用正交矩陣對角化。
A^2=A,B^2=B，所以 A,B 的 eigenvalue 只能是 0,1。

如果 A,B 其中一個是 0，C^2 就是 C 了，
所以假設 A,B 的 eigenvalue 都有 1。

令非零向量 x 滿足 Bx=x，以下 x' 代表 x 的轉置。
因為 x'Ax+x'Bx+x'Cx=x'Ix，所以 x'Ax+x'Cx=0，
但是 x'Ax,x'Cx 都非負，所以都是 0。
故 Ax=0 ，即 x 是 A 的 eigenvector。

B 的 1-eigenspace 掉在 A 的 0-eigenspace 裡，
同理，A 的 1-eigenspace 掉在 B 的 0-eigenspace 裡。
所以 AB=BA=0。

最後展開 C^2=(I-A-B)^2=I-A-B=C，Q.E.D.。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.162.61.224
推 t1552050027 :感謝你
※ 編輯: Vulpix          來自: 1.162.61.224         (01/26 19:34)
推 penolove    :小妹(弟)感謝你 五(六)體投地
推 robertshih  :cool
推 LimSinE     :雄兔腳撲朔，雌兔眼迷離...
推 THEJOY      :好厲害的技巧!
推 comfiture   :高手! 推一個~
推 herstein    :nice
推 bcov        :why eigenvalue 不能是 -1! diag(1,-1)的square=I
推 herstein    :bcov你的矩陣平方後會等於自己嗎??
推 bcov        :sorry 看錯了!
推 penolove    :抱歉再請問一下 C非負是指 項數非負 還是半負定
→ penolove    :若是項數非負 x'Cx是非負嗎
→ penolove    :                                      半正定
推 yusd24      :這題我稍微想一下，好像沒有太簡單的辦法..
推 jack7775kimo:Good!
→ Vulpix      :C 非負是說 C 半正定。
推 jacky7987   :推