→ yhliu :"A,B 對稱，所以 AB = (AB)^T" 這敘述有問題. 01/27 11:22
→ dogy007 :嗯，我錯了 01/27 12:25
※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: ※ 引述《penolove (醜獸的(女)朋友)》之銘言：
: : 小弟(妹)寫題目遇到一提這個
: 修改只是為了性轉嗎……
: : A+B+C=I
: : A^2=A B^2=B
: : A,B,C對稱
: : C非負
: : 試證C^2=C
: : 到底怎麼證呢,自乘不變有甚麼性質嗎
: : 感恩
: 首先，A,B,C對稱，所以可以用正交矩陣對角化。
: A^2=A,B^2=B，所以 A,B 的 eigenvalue 只能是 0,1。
: 如果 A,B 其中一個是 0，C^2 就是 C 了，
: 所以假設 A,B 的 eigenvalue 都有 1。
: 令非零向量 x 滿足 Bx=x，以下 x' 代表 x 的轉置。
: 因為 x'Ax+x'Bx+x'Cx=x'Ix，所以 x'Ax+x'Cx=0，
: 但是 x'Ax,x'Cx 都非負，所以都是 0。
: 故 Ax=0 ，即 x 是 A 的 eigenvector。
: B 的 1-eigenspace 掉在 A 的 0-eigenspace 裡，
: 同理，A 的 1-eigenspace 掉在 B 的 0-eigenspace 裡。
: 所以 AB=BA=0。
: 最後展開 C^2=(I-A-B)^2=I-A-B=C，Q.E.D.。
提供另一做法，其實對稱非常強
A,B 對稱，所以 AB = (AB)^T = B^T A^T = BA
所以 A, B 可同時對角化， 令 P 矩陣使得 P^(-1)AP, P^(-1)BP 為對角矩陣
則 P^(-1)CP = I - P^(-1)AP - P^(-1)BP 也是對角矩陣
但 P^(-1)AP, P^(-1)BP 在對角線上不是 0 就是 1
所以 P^(-1)CP 在對角線上只可能 是 0,1,-1
但是 C 非負，所以 P^(-1)CP 非負，所以在對角線上只可能是 0,1
(P^(-1)CP)^2 = P^(-1)CP => C^2 = C
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