推 darktrue :這招好厲害!!謝謝原PO 02/02 01:03
提供一個狡猾的方法
顯然f(0)=0 ((x,y)代入(0,0))，題目的極限表示 f在0可微，且f'(0)=1
固定y，令 g(x) = f(x+y) = f(x) + f(y) -x^2y - xy^2 + 2xy
則由右式，g在0可微
故
f'(0+y) = g'(0) (連鎖律)
= f'(0) - y^2 + 2y (*)
= 1-y^2 + 2y
一不小心就解出f'了...
乍看(*)會覺得好像偷用到f處處可微，但是此解狡猾之處就在於繞過這個問題
※ 引述《suhorng ( )》之銘言：
: 嗯這真的是錯的...原題目就出錯了
: 附上從同學那裡看來的期中(末?)考題,同樣題型,應該沒錯....
: f(x + y) = f(x) + f(y) - x^2y - xy^2 + 2xy for all real x, y
: lim f(x)/x = 1
: x→0
: find f'(x) and f(x).
: ※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言：
: : 1.
: : 答案無解
: : 光是函數方程就無解
: : 將(x,y)以(y,x)代入
: : f(y+x) = f(y) + f(x) + 3y^2x + yx^2
: : 和原式比較得
: : 3y^2x + yx^2 = 3x^2y + xy^2
: : 但是題目說這是對任意實數x,y都成立，這不可能，矛盾。
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代數幾何觀點！
Algebro-Geometrical Aspect!
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