推 ADAH33 :感恩^^原來要這樣解^^ 02/02 20:28
※ 引述《ADAH33 (逐漸消失的生命)》之銘言：
: sin拍/7 * sin2拍/7 * sin3拍/7
: 答案是 根號7/ 8
: 不知道該怎樣下筆
: 請知道的大大幫忙
: 謝謝^^
令 ω=cos2π/7+isin2π/7 => ω^7=1, 1+ω+ω^2+ω^3+ω^4+ω^5+ω^6=0
z^7 -1=(z-1)(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)
=(z-1)(z-ω)(z-ω^2)(z-ω^3)(z-ω^4)(z-ω^5)(z-ω^6)
=> (1-ω)(1-^2)(1-ω^3)(1-ω^4)(1-ω^5)(1-ω^6)=7...............(*)
又(1-ω)(1-ω^6)=(1-ω)(1 - 1/ω)=2-(ω + 1/ω)=2-2cos2π/7=4sin^2 π/7
同理(1-ω^2)(1-ω^5)=4sin^2 2π/7, (1-ω^3)(1-ω^4)=4sin^2 3π/7
代入(*)得64(sinπ/7 * sin2π/7 * sin3π/7)^2=7
=> sinπ/7 * sin 2π/7 * sin3π/7 = 根號7/ 8
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