Re: [線代] 台大100線代 4.6.

[herstein (翔爸)]

面積=底乘高，體積=長乘寬乘高，n維區間體積=邊長相乘。這裡的立方體要求是相鄰
兩邊兩兩相互垂直。如果你給一個線性獨立集合{v_1,...,v_n}，你希望計算由此集合
張成的平行多面體體積，最簡單的想法就是透過Gram-Schmidt過程，求出直交的長寬高
然後體積就是所有的邊長乘起來的値。

當n=2時，你得到的是高中所學得向量面積公式:A^2= |u|^2|v^2|-(u．v)^2。
推導的方式:(此時A表示為由u,v向量所張成的平行四邊形面積)

求出u在v方向上的投影P(u)，則u-P(u)便垂直於v，並且

         u = (u-P(u))+P(u),

其中P(u)=[(u．v)/(v．v)]v, 於是平行四邊型面積為底乘高 =|v||u-P(u)|。
如果把|u-P(u)||v|算出來，就是(|u|^2|v^2|-(u．v)^2)^{1/2}。
其實你也可以用行列式把此值表達出來:

 A^2=  |u．u  u．v| =習慣上記為Γ(u,v)
       |v．u  v．v|

如果你把u=(u_1,u_2,...,u_m), v=(v_1,...,v_m),
令G表示m*2矩陣 G=[u v], 其中我們把u,v視為行向量，
那麼

Γ(u,v) = det(G'G).

同理，你可以把這樣的想法推廣n維平行多面體的體積。
假設{f_1,...,f_n}是內積空間中的一個線性獨立集合，

Γ(f_1,...,f_n)=det (<f_i,f_j>)

那麼在此內積空間中，由{f_1,...,f_n}所形成的n維平行多面體體積為

(Γ(f_1,...,f_n))^{1/2}

這個行列式很有名，就叫做Gram-determinant。

如果f_i是R^k中的向量，那麼令G表示一個k*n矩陣，其中M的的i個行向量是f_i，
那麼Γ(f_1,...,f_n)又可以寫成

     Γ(f_1,...,f_n)=det(G'G).

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◆ From: 88.77.138.154
※ 編輯: herstein        來自: 88.77.138.154        (02/04 09:31)
→ kuromu      :　　　　　　　　　　　　 2
→ kuromu      :請問∥f_1Λf_2Λ...Λf_n∥= det(G'G)
→ kuromu      :單純只是定義 還是有類似三維外積 分量平方相加
其實在內積空間這些概念都是可以推廣的，內積給予角度，長度，體積的度量方式。
與其說外積，不如說wedge product，這應該是更正確的說法。
如果你懂一點微分幾何，假設X:S-> R^k是R^k中的m維曲面，你希望計算這個曲面在R^k
中的體積，那麼你就是求出X的一次微分dX，這個矩陣的行向量就是上面的f_j,
那麼det(dX'dX)就是給你(開根號之後)，在局部上，這個曲面的切向量所構成的平行多
面體體積。
→ kuromu      :恰恰等於所圍面積的性質  謝謝
→ herstein    :wedge product
推 comfiture   :強者~ 推一個!
※ 編輯: herstein        來自: 88.77.138.154        (02/05 03:15)
推 hjmeric     :謝謝! 所以說"矩形"在三維中的"體積"不是0囉?
→ herstein    :矩形體積為零面積不為零
推 xgcj        :大哥推一個