→ TWN2 :n^(k*g(n))應該是n^(k*g(n^k))吧 02/04 12:34
→ dogy007 :f(n^k)=(f(n))^k = (n^(g(n)))^k = n^(k*g(n)) 02/04 13:09
※ 編輯: dogy007 來自: 220.132.177.99 (02/04 14:08)
※ 引述《counterplot (plot)》之銘言：
: 標題: [中學] f(mn)=f(m)f(n)
: 時間: Fri Feb 3 22:26:19 2012
:
: (a) m,n為正整數，f(mn)=f(m)f(n)
:
: (b) m,n為正整數，若m＞n，則f(m)＞f(n)
:
: 為什麼由(a)和(b)可以推出f(x)=x^n呢？
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 58.115.10.224
: 推 linijay :請往上找「[中學] 請問(101)的題目」的標題 02/03 22:30
: → linijay :不過最後答案裡的n是啥呢? 02/03 22:31
: → linijay :而且你給的條件比上面那題少。 02/03 22:32
: 推 suhorng :仔細想想,那篇其實多用了(1),所以推知n=1 02/03 22:45
: → suhorng :我想n是某個常數 02/03 22:45
原題是 f 為 N 到 N 的函數, 且有條件 f(2)=2, 假設較強
如果只假設 f 為 N 到 R 的函數, 且不假設 f(2) = 2,
我們仍然可以得到一些結果
首先由於 f(1)=f(1*1)=(f(1))^2 所以 f(1)=0 或 1
但 f(1)=0 會導致 f(n)=f(1*n)=f(1)f(n)=0 和 (b) 矛盾, 所以 f(1)=1
對於 n > 1, f(n) > 1, 令 g(n) = log_n f(n) , 也就是 f(n) = n^(g(n)),
如果我們能證明 g(n) 唯一常數 c, 則我們有 f(n) = n^c
因為 (n^k)^g(n^k) = f(n^k)=(f(n))^k = (n^(g(n)))^k = n^(k*g(n))
所以 g(n^k) = g(n)
考慮 n < m,令 k = [log_n m] ≧ 1, n^k ≦ m < n^(k+1)
則 f(n^k) ≦ f(m) < f(n^(k+1))
n^(k*g(n)) ≦ m^g(m) ≦ n^((k+1)*g(n))
取以 n 為底的 log, 得到 k*g(n) ≦ g(m)*(log_n m) ≦ (k+1)*g(n)
k/(log_n m) ≦ g(m)/g(n) ≦ (k+1)/(log_n m)
k/(k+1) ≦ g(m)/g(n) ≦ (k+1)/k
|g(m)/g(n) -1| ≦ 1/k = 1/[log_n m]
對於固定 m,n n < m , 考慮正整數 r
|g(m)/g(n) -1| = |g(m^r)/g(n) -1| ≦ 1/[log_n m^r]
= 1/[r*log_n m]
≦ 1/(r*[log_n m])
≦ 1/r
因為上面不等式對所有 正整數 r 均正確
所以 g(m)/g(n) - 1 = 0, g(m) = g(n)
又修改了一下，這樣應該比計較簡單易懂
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.132.177.99
※ 編輯: dogy007 來自: 220.132.177.99 (02/04 11:58)
※ 編輯: dogy007 來自: 220.132.177.99 (02/04 12:14)