[線代] 台大99(A) 第五題

[hjmeric (Jimmy)]

Let A and B be two square matrices of degree n over a field.

(a) Prove or disprove det [A B] =det(A+B)det(A-B)
                          [A B]

(b) Prove or disprove det [A B] =det(A^2-B^2)
                          [B A]

(a) 我找到反例了，我想要問(b)，我覺得(b)是對的，但不知道該如何下手。

謝謝。

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◆ From: 140.112.217.1
推 ppia        :[I -B; 0 A][A B; B A] = [A 0; B (A^2-B^2)]
→ ppia        :所以 det A != 0 的話就做出來了
→ ppia        :det A = 0 的話, 你可以: (i) 先考慮 k(x_{ij})
→ ppia        :講錯, 考慮 k(x_{ij},y_{ij}), x_{ij} y_{ij} 是
→ ppia        :未定元 令 A'= (x_ij), B'= (y_ij)
→ ppia        :這樣一來 A' B' 都可逆, 因此你就証出
→ ppia        :det[A' B'; B' A'] = det(A'^2-B'^2)
→ ppia        :接下來再把 x_ij y_ij 代值成 A,B 的元
→ ppia        :(ii) 考慮 k(x), A-xI:=A', B-xI:=B', 同理可證
→ ppia        :det[A' B'; B' A'] = det(A'^2-B'^2)
→ ppia        :接下來再代值 x=0
→ hjmeric     :抱歉 我detA!=0乘出來和你的不一樣
→ hjmeric     :左下角是 -BA+AB
推 ppia        :sry, 我寫的是 column 而不是 row
→ ppia        :比如說第一個方陣 -B 在左下角
→ hjmeric     :恩恩我知道 可是這樣乘出來 左下還是 -BA+AB
→ hjmeric     :-BA+AB不一定是0吧?!
推 ppia        :sry 我沒注意到交換的問題 如果這樣的話
推 ppia        :抱歉 我整個搞錯了