Re: [線代] 台大100線代 3.5.

[herstein (翔爸)]

※ 引述《silentsecret ()》之銘言：
:  http://exam.lib.ntu.edu.tw/sites/default/files/exam/graduate/100/100056.pdf
: 請問第三題與第五題要怎麼做?
: 第三題沒頭緒...
: 第五題的題目說是實矩陣，可是特徵值是複數，怎麼辦...
: 請高手解答，謝謝!!
(3)在V上定義<f,h>=Σ_i f(i)h(i)，可以驗證<,>是V上的內積。
考慮T(f)=∫_[0,1]f(x)g(x)dx，那麼T是V上的線性泛涵，
由Riesz表現定理可知，存在唯一屬於V的h使得

        T(f)=<f,h>

此時a_i=h(i)。

反知，你可以定義

     <f,g>=∫_[0,1]f(x)g(x)dx,
那麼<,>在V上是內積，你定義T(h)=Σ_i a_if(i)
同理利用Riesz表現定理可以得到結論。

(5)x^2+1=0是A的最小多項式，理由就在於A是實矩陣。
那麼A是可對角化的，且i,-i是特徵值。你再想想就可以
知道所有的A的Jordan form啦(或Jordan Block)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 88.77.138.154
推 hjmeric     :第一行 RHS 是不是應該改成...f(i)h(i)?
→ herstein    :yes
推 hjmeric     :Riesz 表現定理的證明 是要找泛涵的書嗎?
→ hjmeric     :謝謝
有限維的比較簡單

假設T是V上的線性泛涵，<,>是上的內積。
任取一組V上的直交基底v_1,...,v_n。
那麼記c_i=T(v_i)，則

   T(Σ_i b_i v_i)= Σ_i b_i c_i

                  =<Σ_i b_iv_i, Σ_i c_iv_i>

換句話說呢，如果取 g = Σ_i c_iv_i，那麼

         T(h)=<h, g>

証明了存在性。

要証明唯一性很簡單，假設對任意的h恆有<h,g>=<h,g'>，
令g''=g-g'，則<h,g''>=0, forall h.
那麼只要取h'=g''=> <g'',g''>=0。由內積的性質可知g''=0
也就是說g=g'。

推 hjmeric     :了解了，謝謝!
※ 編輯: herstein        來自: 195.37.209.182       (02/06 21:17)