推 impression :謝謝H大 02/07 16:07
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推 impression :謝謝H大，非常感謝~~ 02/07 17:37
※ 引述《impression (神拳( =.=) =●)》之銘言：
: integral 1/(1+x^2)^2 dx
: For the integrand, 1/(x^2+1)^2 substitute x = tan(u) and dx = sec^2(u) du. Then (x^2+1)^2 = (tan^2(u)+1)^2 = sec^4(u) and u = tan^(-1)(x):
: = integral cos^2(u) du
: 請問最後的 cos^2(u) 是如何轉換出來的
: 把u代入我就沒頭敘了
: 請教各位了~謝謝！
其實 英文敘述講的很清楚啦@@
let x=tan(u), dx=sec^2 (u) du
1 sec^2 (u)
∫─────dx = ∫──────── du
(1+x^2)^2 [1+tan^2 (u)]^2
sec^2 (u) 1
= ∫────── du = ∫──────du =∫cos^(u)du
[sec^2(u)]^2 sec^2(u)
hint: 1+tan^2 (u) = sec^2 (u)
= 0.5∫[cos(2u)+1]du=0.25 ∫[cos(2u)+1]d(2u)
= 0.25 [sin(2u)+2u] +c = 0.25sin[2arctan(x)]+0.5arctan(x) +c
為解
x=tan(u), A 令∠ACB=u 示意圖如下(我畫圖很弱 @@")
/│
sqrt(x^2+1) / │
/ │x
/ │
C /____│B
1
__
由畢氏定理知 AC= sqrt(x^2+1)
x 1
∴sin(u)= ────── , cos(u)=──────
sqrt(x^2+1) sqrt(x^2+1)
x 1 2x
sin(2u)=2sinucosu=2 ──────‧──────= ───
sqrt(x^2+1) sqrt(x^2+1) x^2+1
代回得
x
0.25 [sin(2u)+2u]=0.5 ────+0.5arctan(u)
x^2+1
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