推 peanutrice :大感謝!! 02/08 00:07
※ 引述《peanutrice (花生米)》之銘言：
: 94清大生科考古第七題
: 某一人射箭時，射中後再繼續射中的機率是0.8，射不中後再繼續射中的機率是0.4。
: 設第n次射中的機率是P_n，求 lim P_n = ?
: n→∞
馬可夫鏈. 不過高中好像也有教...
[ P_n ] [0.8 0.4] [ P_{n-1} ]
[ ] = [ ] [ ]
[ 1 - P_n ] [0.2 0.6] [ 1 - P_{n-1} ]
若極限存在, 設 x = lim P_n , 於是上式兩端取極限,
n→∞
[ x ] [ 0.8 0.4 ] [ x ]
[ ] = [ ] [ ] => x = 2/3
[ 1 - x ] [ 0.2 0.6 ] [ 1 - x ]
其實應該要先驗證極限存在. 由遞迴式
P_{n+1} = 0.8 P_n + 0.4 (1 - P_n)
= 0.4 + 0.4 P_n
=> P_{n+1} - 2/3 = 0.4(P_n - 2/3)
可以解出
n
P_{n+1} = 2/3 + 0.4 ×(P_1 - 2/3)
所以極限確實存在而且是 2/3, 無論 P_1 為何.
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※ 編輯: suhorng 來自: 61.217.35.102 (02/07 16:29)