推 SS327 :謝謝~ 02/08 11:53
※ 引述《SS327 (土豆人)》之銘言：
: t t
: 題目:A為方陣，若A A=AA則A=A
: 請問怎麼證明阿???
t
手滑po一下。以下A'表示A 。
當A是2階方陣時，這會成立。自己代a、b、c、d去驗證一下就好了。
接著假設當A是n階方陣時，A'A=AA會導致A=A'。
當A是n+1階方陣時，將A寫成[ B u ]的形式，其中B是n階方陣，u,v是n維向量，
[ v' c ] c是純量。
假設 [ B' v ][ B u ] = [ B u ][ B u ] ，
[ u' c ][ v' c ] [ v' c ][ v' c ]
則我們得到 B'B + vv' = B^2 + uv'…(1)
B'u + cv = Bu + cu …(2)
u'B + cv' = v'B + cv'…(3)
u'u + c^2 = v'u + c^2…(4)
接下來分兩段進行。
Step 1: 證B'=B。
由(4)式知 u．u = u．v 。
將(1)式兩邊各乘上 u'，得 u'B'B + u'vv' = u'BB + u'uv'
=> (Bu)'B + (u．v)v' = (B'u)'B + (u．u)v'
=> (Bu)'B = (B'u)'B
=> [(Bu)'-(B'u)']B = [(Bu)-(B'u)]'B = [(B-B')u]'B = u'(B-B')'B = u'(B'-B)B = 0
=> u'(B'B-BB) = 0 對所有u都要成立。
=> B'B-BB = 0
=> B'B = BB B是k階方陣，所以根據歸納假設，可得
=> B' = B
Step 2: 證u=v。
將(1)式同減BB，得 vv' = uv'
=> v．v = u．v = u．u （由(4)式而來）
=> v = +-u
但若 v = -u，則 v．v = u．v = (-v)．v，則 |v| = 0，則 v = 0，則u也等於0。
故一般來說，v = u。
所以當A是k+1階方陣時，
[ B' v ][ B u ] = [ B u ][ B u ] 會imply [ B' v ] = [ B u ] 。
[ u' c ][ v' c ] [ v' c ][ v' c ] [ u' c ] [ v' c ]
請板上高手幫忙檢查了。 @@
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