Re: [中學] 遞迴數列

[ckchi (飄)]

※ 引述《AZsorcerer (AZ)》之銘言：
: a_1=2 , a_2=4
: a_n * a_(n-2) = [a_(n-1)]^2 + 2012   <前後兩項之積為中間項平方+2012>
:      a_2012       a_2011
: A= ---------- + ---------- , 求大於A的最小正整數.   Ans. 254
:      a_2011       a_2012
: 看到題目的想法是求前後兩項比值的關係式
:                  a_n          a_(n-1)
: 看能不能找出 ----------- 與 ----------- 的關係
:                a_(n-1)        a_(n-2)
: 但是會卡在常數2012的部份
: 希望板上高手能夠提供意見,感謝您


   a_n * a_(n-2) = [a_(n-1)]^2 + 2012
=> a_n = {[a_(n-1)]^2 + 2012} / a_(n-2)

也就是說：

a3 = (a2^2 + 2012)/a1
a4 = (a3^2 + 2012)/a2
a5 = (a4^2 + 2012)/a3
 .          .
 .          .

所以：
a3/a2 = (a2^2 + 2012)/(a1a2) = a2/a1 + 2012/(a1*a2)
a4/a3 = (a3^2 + 2012)/(a2a3) = a3/a2 + 2012/(a2*a3)
a5/a4 = (a4^2 + 2012)/(a3a4) = a4/a3 + 2012/(a3*a4)
  .                                  .
  .                                  .
  .                                  .
a2011/a2010              = a2010/a2009 + 2012/(a2010*a2009)
a2012/a2011              = a2011/a2010 + 2012/(a2011*a2010)


全部加起來：
  a2012/a2011
= a2/a1 + 2012/(a1*a2) + 2012/(a2*a3) + 2012/(a3*a4) + ... +2012/(a2011*a2010)


又 a1 = (a2^2 + 2012)/a3
   a2 = (a3^2 + 2012)/a4
   a3 = (a4^2 + 2012)/a5

所以：

a1/a2 = (a2^2 + 2012)/(a2a3) = a2/a3 + 2012/(a2a3)
a2/a3                        = a3/a4 + 2012/(a3a4)
  .                                  .
  .                                  .
  .                                  .
a2009/a2010                  = a2010/a2011 + 2012/(a2010a2011)
a2010/a2011                  = a2011/a2012 + 2012/(a2011a2012)

全部加起來：
  a1/a2 = a2011/a2012 + 2012/(a2a3) + 2012/(a3a4) + ... + 2012/(a2011a2012)

即：
  a2011/a2012
= a1/a2 - 2012/(a2a3) - 2012/(a3a4) - ... - 2012/(a2011a2012)




  a2012/a2011
= a2/a1 + 2012/(a1*a2) + 2012/(a2*a3) + 2012/(a3*a4) + ... +2012/(a2011*a2010)

  a2011/a2012
= a1/a2 - 2012/(a2a3) - 2012/(a3a4) - ... - 2012/(a2011a2012)


所以：
  a2012/a2011 + a2011/a2012
= a2/a1 + 2012/(a1*a2) + 2012/(a2*a3) + 2012/(a3*a4) + ... +2012/(a2011*a2010)
  + a1/a2 -2012/(a2a3) -2012/(a3a4) -... -2012/(a2011*a2010) -2012/(a2011a2012)
= a2/a1 + a1/a2 + 2012/(a1a2) - 2012/(a2011a2012)
= 4/2 + 2/4 + 2012/8 - 2012/(a2011a2012)
= 2 + 0.5 + 251.5 - 2012/(a2011a2012)
= 254 - 2012/(a2011a2012)

因此大於 a2012/a2011 + a2011/a2012 的最小正整數為 254



※ 編輯: ckchi           來自: 140.116.89.133       (02/10 14:49)
推 AZsorcerer  :感謝大大的回答! 我已經用程式跑過了,最大值是254
→ AZsorcerer  :但是沒辦法求出實際值呢
→ ckchi       :換個方式解完了 這樣就不會有問題了
→ ckchi       :把a2011/a2012也用前面的方式寫出來後相加
→ ckchi       :會變得比較漂亮 (剛好可以消掉)
→ ckchi       :這樣也可以保證不會超過254