推 AZsorcerer :好方法,感謝您! 當時只有想到利用兩個比值的式子相加 02/10 17:10
→ AZsorcerer :而沒有想到可以由原來的式子相加解出,再次謝謝您^_^ 02/10 17:10
※ 引述《AZsorcerer (AZ)》之銘言：
: a_1=2 , a_2=4
: a_n * a_(n-2) = [a_(n-1)]^2 + 2012 <前後兩項之積為中間項平方+2012>
: a_2012 a_2011
: A= ---------- + ---------- , 求大於A的最小正整數. Ans. 254
: a_2011 a_2012
: 看到題目的想法是求前後兩項比值的關係式
: a_n a_(n-1)
: 看能不能找出 ----------- 與 ----------- 的關係
: a_(n-1) a_(n-2)
: 但是會卡在常數2012的部份
: 希望板上高手能夠提供意見,感謝您
{a_n} 其實是線性遞迴數列:
a_n * a_(n-2) = [a_(n-1)]^2 + 2012
a_(n+1)*a_(n-1)= a_n^2 +2012
=> an*(a_(n-2) + a_n) = a_(n-1)*(a_(n-1)+a_(n+1))
a_(n-1)+a_(n+1) a_(n-2)+a_n a_1+a_3
=> ---------------- = -------------- = .. = -------- = (2+1014)/4 = 254.
a_n a_(n-1) a_2
Thus, a_(n+1) = 254a_n - a_(n-1). ( > 253a_n > 2*253^(n-1))
plugin this into a_(n+1) * a_(n-1) = a_n^2 + 2012, one sees that
a_n/a_(n-1) + a_(n-1)/a_n = 254 - 2012/[a_n*a_(n-1)].
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Hence |a_n/a_(n-1) + a_(n-1)/a_n |= 254.
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※ 編輯: Sfly 來自: 76.94.119.209 (02/10 15:28)