※ 引述《ckjmal (派大星)》之銘言：
: 求原點和曲面X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=2之最近距離
: 他有提示X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-XZ-YZ)
: 我在作最後的聯立時候卡住了
: 不知道是不是有甚麼特殊解聯立方程式的方法
: (附上我的方程式，lambda我用a代替)
: Fx=2X-3aX^2+3aYZ=0
: Fy=2Y-3aY^2+3aXZ=0
: Fz=2Z-3aZ^2+3aXY=0
: Fa=X^3+Y^3+Z^3-3XYZ-2=0
2x = 3a(x^2 - yz)
2y = 3a(y^2 - zx)
2z = 3a(z^2 - xy)
得 2(x+ y+ z) = 3a(x^2 + y^2 + z^2 - xy- yz- zx)
和 2(x^2 +y^2 + z^2) = 3a(x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz)
令x+y+z = u ; x^2 + y^2 + z^2 - xy- yz- zx = v
; 則x^2 +y^2 + z^2 = (u^2 + 2v)/3 .
將式子簡化為以下三式:
uv = 2 (Fa = 0)
=> u = ±√(3a) , v = ±2/√(3a)
2u = 3av
2(u^2 + 2v)/3 = 3auv = 6a => u^2 + 2v = 9a
因v必≧0, 故負不合 => u =√(3a) , v = 2/√(3a)
=> 3a + 4/√3a = 9a => a^3 = 4/27 => a = 2^(2/3) /3
=> u = 2^(1/3) , v = 2^(2/3)
故所求 = √(x^2 +y^2 + z^2) = √((u^2 + 2v)/3) = 2^(1/3)
要求 (x,y,z)的話, 剛剛算出了
x+y+z = 2^(1/3), x^2 + y^2 + z^2 - xy- yz- zx = 2^(2/3)
得 xy+yz+zx = 0 .
還差一個式子, 只好回到最原式 Fx,Fy,Fz , 代入a值後得:
2^(1/3) x = (x^2 - yz)
2^(1/3) y = (y^2 - zx)
2^(1/3) z = (z^2 - xy)
因 xy+yz+zx = 0 => yz = -x(y+z) = -x( 2^(1/3) -x) = x^2 - x 2^(1/3)
代回Fx 得 2^(1/3) x = x 2^(1/3) 為恆等式.
同理Fy 和 Fz 也得不出更多資訊.
故(x,y,z)的解集合為
球面 x^2 + y^2 + z^2 = 2^(2/3) 和平面 x+y+z = 2^(1/3)
的交集(為一空間上的圓) , 這些點到原點的距離皆為2^(1/3) ,
都是曲面 x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz = 2 上距離原點最近的點.
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